Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 12 стр.

12                                              Глава 1. Основные уравнения


   Утверждение 1.4. Для любого нетривиального решения E, H
системы уравнений (1.3) существует поляризационный потенци-
ал Π. Потенциал Π для всех x ∈ R2 \ Γ удовлетворяет уравнению
              £      ¡             ¢¤     1 ¡       ¢
                  ∆ + k 2 n2∞ − β 2 Π = − 2 n2 − n2∞ E.              (1.27)
                                         n∞

   Доказательство. Выразим потенциалы A и ϕ через один век-
тор Π. Пусть
                     ϕ = −divβ Π.
Тогда из условия Лоренца (1.19) имеем

                             A = −iωε0 n2∞ Π.

Отсюда и из (1.20), (1.21) получим два уравнения для Π, а именно
уравнение
                 £     ¡          ¢¤
          −divβ ∆ + k 2 n2∞ − β 2 Π = E · (n−2 gradn2 )    (1.28)

и уравнение (1.27).
    Проверим, что уравнение (1.28) является следствием уравне-
ния (1.27). С этой целью докажем сначала справедливость равенства
                    ¡¡      ¢ ¢
               divβ n2 − n2∞ E = n2∞ E · (n−2 gradn2 ).     (1.29)

Действительно, в силу (1.7)
        ¡¡        ¢ ¢ ¡       ¢                 ¡        ¢
    divβ n2 − n2∞ E = n2 − n2∞ divβ E + E · grad n2 − n2∞ .

Из (1.13) и (1.7) следует, что

                        −divβ E = E · (n−2 gradn2 ).

Используя два последних равенства, получим уравнение (1.29). Пусть
справедливо равенство (1.27). Применим к обеим частям равен-
ства (1.27) операцию divβ . Учитывая (1.29), придем к (1.28). Наобо-
рот, из (1.28) и (1.29) имеем
             £   ¡             ¢¤   1     ¡¡       ¢ ¢
        −divβ ∆ + k 2 n2∞ − β 2 Π = 2 divβ n2 − n2∞ E ,
                                   n∞
откуда следует, что достаточно потребовать от вектора Π, чтобы вы-
полнялось уравнение (1.27).