Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14 Глава 1. Основные уравнения
Доказательство. Пусть ненулевые векторы E и H удовлетво-
ряют системе уравнений (1.3). Запишем систему уравнений (1.3) в
скалярном виде:
∂E
3
∂x
2
− iβE
2
= iωµ
0
H
1
,
∂H
3
∂x
2
− iβH
2
= −iωε
0
n
2
E
1
, (1.35)
iβE
1
−
∂E
3
∂x
1
= iωµ
0
H
2
, iβH
1
−
∂H
3
∂x
1
= −iωε
0
n
2
E
2
, (1.36)
∂E
2
∂x
1
−
∂E
1
∂x
2
= iωµ
0
H
3
,
∂H
2
∂x
1
−
∂H
1
∂x
2
= −iωε
0
n
2
E
3
. (1.37)
Пусть u = E
3
, v = H
3
. Уравнения (1.35), (1.36) запишем в виде двух
систем относительно неизвестных функций E
1
, H
2
и H
1
, E
2
:
−iωε
0
n
2
E
1
+ iβH
2
=
∂v
∂x
2
, (1.38)
iβE
1
− iωµ
0
H
2
=
∂u
∂x
1
;
iωµ
0
H
1
+ iβE
2
=
∂u
∂x
2
, (1.39)
iβH
1
+ iωε
0
n
2
E
2
=
∂v
∂x
1
.
Если выполняются условия (1.32), то определители систем урав-
нений (1.38) и (1.39) отличны от нуля. Следовательно, эти системы
однозначно разрешимы. Решим их и получим представления (1.30)
и (1.31). Таким образом, при сделанных предположениях существу-
ют потенциальные функции u(x) и v(x).
То, что потенциальные функции u(x) и v(x) для всех x ∈ R
2
\ Γ
удовлетворяют уравнениям Гельмгольца (1.33), (1.34), непосредствен-
но следует из утверждения 1.2. Заметим, что уравнения (1.33), (1.34)
также можно получить, если подставить представления (1.30), (1.31)
в равенства (1.37). ¤
§ 3. Условия на границах раздела сред
Если в пространстве имеются области, на границах которых пока-
затель преломления n претерпевает разрыв, то на этих поверхностях
раздела сред векторы напряженностей электромагнитного поля E и H
14                                          Глава 1. Основные уравнения


   Доказательство. Пусть ненулевые векторы E и H удовлетво-
ряют системе уравнений (1.3). Запишем систему уравнений (1.3) в
скалярном виде:
      ∂E3                      ∂H3
          − iβE2 = iωµ0 H1 ,       − iβH2 = −iωε0 n2 E1 ,        (1.35)
      ∂x2                      ∂x2
              ∂E3                     ∂H3
      iβE1 −      = iωµ0 H2 , iβH1 −        = −iωε0 n2 E2 ,    (1.36)
              ∂x1                      ∂x1
       ∂E2 ∂E1                 ∂H2 ∂H1
           −      = iωµ0 H3 ,      −        = −iωε0 n2 E3 .    (1.37)
       ∂x1    ∂x2              ∂x1    ∂x2
Пусть u = E3 , v = H3 . Уравнения (1.35), (1.36) запишем в виде двух
систем относительно неизвестных функций E1 , H2 и H1 , E2 :
                                            ∂v
                     −iωε0 n2 E1 + iβH2 =       ,                (1.38)
                                            ∂x2
                                           ∂u
                       iβE1 − iωµ0 H2 =       ;
                                          ∂x1
                                           ∂u
                        iωµ0 H1 + iβE2 =      ,               (1.39)
                                          ∂x2
                                            ∂v
                       iβH1 + iωε0 n2 E2 =      .
                                           ∂x1
    Если выполняются условия (1.32), то определители систем урав-
нений (1.38) и (1.39) отличны от нуля. Следовательно, эти системы
однозначно разрешимы. Решим их и получим представления (1.30)
и (1.31). Таким образом, при сделанных предположениях существу-
ют потенциальные функции u(x) и v(x).
    То, что потенциальные функции u(x) и v(x) для всех x ∈ R2 \ Γ
удовлетворяют уравнениям Гельмгольца (1.33), (1.34), непосредствен-
но следует из утверждения 1.2. Заметим, что уравнения (1.33), (1.34)
также можно получить, если подставить представления (1.30), (1.31)
в равенства (1.37). ¤

            § 3. Условия на границах раздела сред

    Если в пространстве имеются области, на границах которых пока-
затель преломления n претерпевает разрыв, то на этих поверхностях
раздела сред векторы напряженностей электромагнитного поля E и H

Страницы