Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 16 стр.

16                                                  Глава 1. Основные уравнения

                      Z                Z
                                               ∂E
                          H · τ dl =       ε      · νds.                 (1.45)
                                               ∂t
                      L                S
    Выберем произвольную точку x ∈ Σ. Рассечем поверхность разде-
ла сред Σ плоскостью P , проходящей через точку x, так, чтобы ν ∈ P .
Пусть касательный вектор τ также принадлежит плоскости P . Обо-
значим через κ единичный вектор с началом в точке x, перпендику-
лярный плоскости P , такой, что выполняется следующее условие:

                               τ = κ × ν.                                (1.46)

Пусть S — круг радиуса ρ с центром в точке x, лежащий в плоско-
сти P , а L — граница этого круга:

                  S = {x ∈ P : |x| < ρ} ,          L = ∂S.

    Применим систему уравнений Максвелла в интегральной фор-
ме (1.44), (1.45) к выбранной области S, и устремим радиус ρ круга S
к нулю. В результате получим два равенства
                    E + · τ − E − · τ = 0, x ∈ Σ,
                    H+ · τ − H− · τ = 0, x ∈ Σ.

Отсюда, используя условие (1.46) и известную формулу векторной
алгебры
                     A · B × C = C × A · B,
справедливую для произвольных векторов A, B, C, получим две це-
почки равенств:
                (E + − E − ) · τ = (E + − E − ) · κ × ν =
                 = ν × (E + − E − ) · κ = 0, x ∈ Σ,

               (H+ − H− ) · τ = (H+ − H− ) · κ × ν =
                = ν × (H+ − H− ) · κ = 0, x ∈ Σ,
В силу того, что направление касательной τ было выбрано произ-
вольно (плоскость P можно вращать относительно нормали ν), два
последних равенства справедливы для произвольного вектора κ, удо-
влетворяющего условию (1.46). Следовательно, выполняются условия
сопряжения (1.40), (1.41).