Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 17 стр.

§ 3. Условия на границах раздела сред                                 17


   Сформулируем теперь условия сопряжения, которым должны
удовлетворять потенциальные функции u(x), v(x), определяющие ам-
плитуды собственных волн диэлектрического волновода с постоян-
ным показателем преломления. В этом случае поверхность Σ парал-
лельна оси 0x3 . Напомним, что Γ — гладкий контур, ограничивающий
область Ω на плоскости поперечного сечения волновода {x3 = const}.
   Утверждение 1.6. Пусть показатель преломления n принима-
ет в области Ω постоянное значение n+ , и выполняются условия
                        β 6= ±kn+ ,     β 6= ±kn∞ .               (1.47)
Тогда потенциальные функции u(x) и v(x), определяющие по форму-
лам (1.30), (1.31) любые ненулевые комплексные амплитуды E и H
собственной волны E, H вида (1.2), удовлетворяют условиям сопря-
жения
                      u+ = u− , v + = v − , x ∈ Γ,
                                 µ                     −
                                                         ¶
                          1          ∂v             ∂u
                    2   2      2
                                   β     + ε0 n2+ ω        =
                   k n+ − β          ∂τ              ∂ν
                              µ                       ¶
                     1            ∂v         2   ∂u+
             = 2 2              β     + ε 0 n∞ ω         , x ∈ Γ, (1.48)
                k n∞ − β 2        ∂τ              ∂ν
                                  µ                    ¶
                            1          ∂u         ∂v −
                                     β     − µ0 ω         =
                    k 2 n2+ − β 2      ∂τ          ∂ν
                               µ                    ¶
                       1            ∂u         ∂v +
               = 2 2              β     − µ0 ω         , x ∈ Γ.
                 k n∞ − β 2         ∂τ          ∂ν
Здесь u+ (u− ) — предельное значение функции u извне (изнутри) кон-
тура Γ, ∂u/∂ν — производная по внешней нормали к контуру Γ,
а ∂u/∂τ — производная по касательной к контуру Γ.
    Доказательство. Пусть E, H — ненулевые комплексные ам-
плитуды собственной волны E, H вида (1.2). В рассматриваемом слу-
чае вектор нормали ν к любой точке x ∈ Σ перпендикулярен оси 0x 3 .
Поэтому условия (1.42), (1.43) в координатной форме можно записать
так:         ¯              ¯ ¯               ¯
             ¯ x1 x2 x3 ¯ ¯ x1 x2 x3 ¯
             ¯              ¯ ¯               ¯
             ¯ ν1 ν2 0 ¯ = ¯ ν1 ν2 0 ¯ , x ∈ Σ,              (1.49)
             ¯ + + +¯ ¯ − − −¯
             ¯E E E ¯ ¯E E E ¯
                1   2    3         1   2   3
            ¯               ¯ ¯                ¯
            ¯ x1 x2 x3 ¯ ¯ x1 x2 x3 ¯
            ¯               ¯ ¯                ¯
            ¯ ν1 ν2 0 ¯ = ¯ ν1 ν2 0 ¯ , x ∈ Σ.               (1.50)
            ¯ + + +¯ ¯ − − −¯
            ¯H H H ¯ ¯H H H ¯
                1   2    3         1   2    3