Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18 Глава 1. Основные уравнения
Следовательно, справедливы следующие условия на поверхности Σ:
x
3
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
E
+
1
E
+
2
¯
¯
¯
¯
+ E
+
3
¯
¯
¯
¯
x
1
x
2
ν
1
ν
2
¯
¯
¯
¯
= (1.51)
= x
3
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
E
−
1
E
−
2
¯
¯
¯
¯
+ E
−
3
¯
¯
¯
¯
x
1
x
2
ν
1
ν
2
¯
¯
¯
¯
, x ∈ Σ,
x
3
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
H
+
1
H
+
2
¯
¯
¯
¯
+ H
+
3
¯
¯
¯
¯
x
1
x
2
ν
1
ν
2
¯
¯
¯
¯
= (1.52)
= x
3
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
H
−
1
H
−
2
¯
¯
¯
¯
+ H
−
3
¯
¯
¯
¯
x
1
x
2
ν
1
ν
2
¯
¯
¯
¯
, x ∈ Σ,
Плоскость R
2
пересекает ось 0x
3
в произвольной точке x
3
. Поэто-
му из условий сопряжения (1.51), (1.52) на поверхности Σ вытекают
следующие условия на контуре Γ ⊂ R
2
:
E
+
3
= E
−
3
, H
+
3
= H
−
3
, x ∈ Γ,
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
E
+
1
E
+
2
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
E
−
1
E
−
2
¯
¯
¯
¯
, x ∈ Γ, (1.53)
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
H
+
1
H
+
2
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
H
−
1
H
−
2
¯
¯
¯
¯
, x ∈ Γ.
При сделанных предположениях, согласно утверждению 1.5, су-
ществуют потенциальные функции u(x) и v(x), для которых справед-
ливы представления (1.30), (1.31). Следовательно, первые два усло-
вия (1.48) вытекают из (1.53) очевидным образом. Проверим спра-
ведливость последних двух условий (1.48). Подставим представле-
ния (1.30), (1.31) в последние два равенства (1.53) и получим условия
относительно функций u(x) и v(x):
1
k
2
n
2
∞
− β
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
µ
0
ω
∂v
+
∂x
2
+ β
∂u
+
∂x
1
−µ
0
ω
∂v
+
∂x
1
+ β
∂u
+
∂x
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
1
k
2
n
2
+
− β
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
µ
0
ω
∂v
−
∂x
2
+ β
∂u
−
∂x
1
−µ
0
ω
∂v
−
∂x
1
+ β
∂u
−
∂x
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, x ∈ Γ,
1
k
2
n
2
∞
− β
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
β
∂v
+
∂x
1
− ε
0
n
2
∞
ω
∂u
+
∂x
2
β
∂v
+
∂x
2
+ ε
0
n
2
∞
ω
∂u
+
∂x
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
18                                                 Глава 1. Основные уравнения


Следовательно, справедливы следующие условия на поверхности Σ:
                      ¯       ¯        ¯       ¯
                      ¯ ν1 ν2 ¯        ¯ x1 x2 ¯
                  x3 ¯¯ + + ¯¯ + E3 ¯¯
                                    +          ¯=        (1.51)
                        E1 E2            ν1 ν2 ¯
                  ¯         ¯     ¯         ¯
                  ¯ ν1 ν2 ¯       ¯ x1 x2 ¯
            = x3 ¯¯ − − ¯¯ + E3 ¯¯
                                −           ¯ , x ∈ Σ,
                    E1 E2            ν1 ν2 ¯
                      ¯       ¯        ¯       ¯
                      ¯ ν1 ν2 ¯        ¯ x  x  ¯
                  x3 ¯¯ + + ¯¯ + H+    ¯ 1 2 ¯=          (1.52)
                                     3 ¯
                        H1 H2            ν1 ν2 ¯
                  ¯         ¯      ¯         ¯
                  ¯ ν1 ν2 ¯        ¯  x   x  ¯
            = x3 ¯¯ − − ¯¯ + H−    ¯ 1 2 ¯ , x ∈ Σ,
                                3 ¯
                    H1 H2             ν1 ν2 ¯
   Плоскость R2 пересекает ось 0x3 в произвольной точке x3 . Поэто-
му из условий сопряжения (1.51), (1.52) на поверхности Σ вытекают
следующие условия на контуре Γ ⊂ R2 :

                      E+     −
                       3 = E3 , H+    −
                                 3 = H3 ,   x ∈ Γ,
                    ¯        ¯ ¯         ¯
                    ¯ ν1 ν2 ¯ ¯ ν1 ν2 ¯
                    ¯ + + ¯ = ¯ − − ¯ , x ∈ Γ,                             (1.53)
                    ¯E E ¯ ¯E E ¯
                       1   2       1  2
                    ¯        ¯ ¯          ¯
                    ¯ ν1 ν2 ¯ ¯ ν1 ν2 ¯
                    ¯ + + ¯ = ¯ − − ¯ , x ∈ Γ.
                    ¯H H ¯ ¯H H ¯
                       1   2       1  2
   При сделанных предположениях, согласно утверждению 1.5, су-
ществуют потенциальные функции u(x) и v(x), для которых справед-
ливы представления (1.30), (1.31). Следовательно, первые два усло-
вия (1.48) вытекают из (1.53) очевидным образом. Проверим спра-
ведливость последних двух условий (1.48). Подставим представле-
ния (1.30), (1.31) в последние два равенства (1.53) и получим условия
относительно функций u(x) и v(x):
                         ¯                                                 ¯
                         ¯           ν                       ν             ¯
                 1       ¯              1                      2           ¯
                         ¯          +           +            +           + ¯
          k 2 n2∞ − β 2 ¯¯ µ0 ω
                                ∂v
                                        +β
                                             ∂u
                                                   −µ0 ω
                                                          ∂v
                                                                 +β
                                                                      ∂u   ¯=
                                ∂x2          ∂x1          ∂x1         ∂x2 ¯
                    ¯                                                   ¯
                    ¯            ν                       ν              ¯
              1     ¯              1                       2            ¯
   = 2 2            ¯           −            −           −            − ¯
      k n+ − β 2 ¯¯ µ0 ω
                            ∂v
                                   +β
                                          ∂u
                                                −µ0 ω
                                                      ∂v
                                                             +β
                                                                   ∂u   ¯ , x ∈ Γ,
                            ∂x2           ∂x1          ∂x1         ∂x2 ¯
                      ¯                                                      ¯
                      ¯              ν                         ν             ¯
               1      ¯                1                         2           ¯
                      ¯ ∂v +                     +       +                 + ¯
       k 2 n2∞ − β 2 ¯¯ β       − ε0 n2∞ ω
                                              ∂u
                                                    β
                                                      ∂v
                                                            + ε0 n2∞ ω
                                                                        ∂u   ¯=
                           ∂x1                ∂x2     ∂x2               ∂x1 ¯

Страницы