Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Поведение амплитуд собственных волн на бесконечности 19
=
1
k
2
n
2
+
− β
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ν
1
ν
2
β
∂v
−
∂x
1
− ε
0
n
2
+
ω
∂u
−
∂x
2
β
∂v
−
∂x
2
+ ε
0
n
2
+
ω
∂u
−
∂x
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, x ∈ Γ.
Из этих условий и равенств
∂u
∂ν
=
∂u
∂x
1
ν
1
+
∂u
∂x
2
ν
2
, (1.54)
∂u
∂τ
=
∂u
∂x
1
τ
1
+
∂u
∂x
2
τ
2
= −
∂u
∂x
1
ν
2
+
∂u
∂x
2
ν
1
, (1.55)
получим последние два из условий сопряжения (1.48). ¤
§ 4. Поведение амплитуд собственных волн на
бесконечности
Область Ω
∞
является неограниченной; следовательно, для того,
чтобы полностью сформулировать задачу о собственных волнах ди-
электрического волновода, необходимо задать поведение комплекс-
ных амплитуд собственных волн E и H на бесконечности в плоскости
поперечного сечения волновода R
2
. Это можно сделать разными спо-
собами, что определит разные решения задачи.
Первым классом собственных волн, который был исследован для
цилиндрических диэлектрических волноводов кругового поперечного
сечения c вещественным постоянным показателем преломления, были
поверхностные собственные волны, соответствующие вещественным
постоянным распространения (см., напр., [29]). Амплитуды поверх-
ностных собственных волн экспоненциально убывают на бесконеч-
ности в плоскости поперечного сечения волновода и, следовательно,
принадлежат пространству L
2
(R
2
). Соответствующие задачи на соб-
ственные значения являются самосопряженными. Позже было уста-
новлено [18], что поверхностные собственные волны волноводов кру-
гового поперечного сечения с постоянным показателем преломления
могут трансформироваться в вытекающие собственные волны, по-
стоянные распространения которых находятся на “нефизическом” ли-
сте римановой поверхности квадратного корня. Эта трансформация
происходит тогда, когда постоянные распространения мигрируют с
вещественной оси “физического” листа на “нефизический” лист вслед-
ствие изменений неспектральных параметров, то есть геометриче-
ских, материальных параметров структуры или частоты электромаг-
§ 4. Поведение амплитуд собственных волн на бесконечности                      19

                ¯                                                ¯
                ¯          ν1                     ν2             ¯
         1      ¯                                                ¯
  = 2 2         ¯   ∂v −
                                    ∂u −
                                           ∂v −
                                                           ∂u−   ¯,   x ∈ Γ.
    k n+ − β 2 ¯¯ β      − ε0 n2+ ω      β      + ε0 n2+ ω       ¯
                                                                 ¯
                    ∂x1             ∂x2    ∂x2             ∂x1
Из этих условий и равенств
                           ∂u   ∂u       ∂u
                              =     ν1 +     ν2 ,                       (1.54)
                           ∂ν   ∂x1      ∂x2
             ∂u    ∂u       ∂u         ∂u       ∂u
                =      τ1 +     τ2 = −     ν2 +     ν1 ,                (1.55)
             ∂τ    ∂x1      ∂x2        ∂x1      ∂x2
получим последние два из условий сопряжения (1.48). ¤

        § 4. Поведение амплитуд собственных волн на
                         бесконечности

    Область Ω∞ является неограниченной; следовательно, для того,
чтобы полностью сформулировать задачу о собственных волнах ди-
электрического волновода, необходимо задать поведение комплекс-
ных амплитуд собственных волн E и H на бесконечности в плоскости
поперечного сечения волновода R2 . Это можно сделать разными спо-
собами, что определит разные решения задачи.
    Первым классом собственных волн, который был исследован для
цилиндрических диэлектрических волноводов кругового поперечного
сечения c вещественным постоянным показателем преломления, были
поверхностные собственные волны, соответствующие вещественным
постоянным распространения (см., напр., [29]). Амплитуды поверх-
ностных собственных волн экспоненциально убывают на бесконеч-
ности в плоскости поперечного сечения волновода и, следовательно,
принадлежат пространству L2 (R2 ). Соответствующие задачи на соб-
ственные значения являются самосопряженными. Позже было уста-
новлено [18], что поверхностные собственные волны волноводов кру-
гового поперечного сечения с постоянным показателем преломления
могут трансформироваться в вытекающие собственные волны, по-
стоянные распространения которых находятся на “нефизическом” ли-
сте римановой поверхности квадратного корня. Эта трансформация
происходит тогда, когда постоянные распространения мигрируют с
вещественной оси “физического” листа на “нефизический” лист вслед-
ствие изменений неспектральных параметров, то есть геометриче-
ских, материальных параметров структуры или частоты электромаг-

Страницы