Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 15 стр.

§ 3. Условия на границах раздела сред                              15


также теряют гладкость. На поверхностях разрыва должны быть за-
даны определенные условия сопряжения для векторов электромаг-
нитного поля.
    Обозначим символом Σ поверхность раздела сред. Пусть ν — еди-
ничный вектор нормали, а τ — единичный вектор касательной в точ-
ке x поверхности Σ. Условия сопряжения на гладкой поверхности раз-
рыва Σ заключаются в том, что при переходе через эту границу ка-
сательные составляющие векторов E и H должны быть непрерывны
(см., например, [12]):

                        ν × E + = ν × E −,   x ∈ Σ,            (1.40)

                       ν × H+ = ν × H− ,     x ∈ Σ.            (1.41)
Здесь E + — предельное значение функции E из той области, куда
направлен вектор нормали ν, E − — предельное значение функции E
из области противоположной относительно поверхности Σ; ν × E —
векторное произведение векторов, которое в декартовых координатах
определяется следующим образом:
                               ¯           ¯
                               ¯ x1 x2 x3 ¯
                               ¯           ¯
                      ν × E = ¯¯ ν1 ν2 ν3 ¯¯ .
                               ¯ E1 E2 E3 ¯

Пусть E, H — ненулевые комплексные амплитуды собственной вол-
ны E, H вида (1.2). Тогда согласно (1.40), (1.41) функции E, H должны
удовлетворять следующим условиям сопряжения:

                       ν × E+ = ν × E − ,    x ∈ Σ,            (1.42)

                       ν × H+ = ν × H− ,     x ∈ Σ.            (1.43)
    Приступим к выводу условий (1.40), (1.41). Пусть S — некото-
рая поверхность в трехмерном пространстве, ограниченная достаточ-
но гладким контуром L; через ν и τ обозначим единичный вектор
внешней по отношению к поверхности S нормали и единичный ка-
сательный вектор в точке контура L. Наряду с дифференциальной
формой записи системы уравнений Максвелла (1.1) используется ин-
тегральная форма (см., напр., [26]):
                    Z             Z
                                      ∂H
                      E · τ dl = − µ0    · νds,             (1.44)
                                      ∂t
                      L                 S