Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

100 Волновод в плоско-слоистой среде
Непосредственными вычислениями получаем представление матрич-
ного символа Ψ
∗
(x, α) оператора S
∗
:
Ψ
∗
(x, α) =
1 +
³
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
´
α
2
1
(ϕ)
³
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
´
α
1
(ϕ)α
2
(ϕ) 0
³
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
´
α
1
(ϕ)α
2
(ϕ) 1 +
³
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
´
α
2
2
(ϕ) 0
0 0 1
(4.31)
для x ∈ R
2
, α ∈ Θ. Функция n вещественна, следовательно матрич-
ный символ Ψ(x, α) сингулярного интегрального оператора S равен
символу Ψ
∗
(x, α):
Ψ(x, α) = Ψ
∗
(x, α), x ∈ R
2
, α ∈ Θ. (4.32)
Очевидно, имеют место следующие неравенства:
inf
x∈R
2
, α∈Θ
|det Ψ(x, α)| > 0,
inf
x∈R
2
, α∈Θ
¯
¯
¯
¯
det
µ
Ψ
1,1
(x, α) Ψ
1,2
(x, α)
Ψ
2,1
(x, α) Ψ
2,2
(x, α)
¯
¯
¯
¯
> 0,
inf
x∈R
2
, α∈Θ
|Ψ
1,1
(x, α)| > 0.
(4.33)
Следовательно (см., теорему 4.21), оператор D(β) фредгольмов.
Докажем теперь, что индекс оператора Q(β) равен индексу опе-
ратора D(β) для всех β ∈
b
Λ
(1)
0
. Пусть вектор-функция W(x), x ∈ R
2
принадлежит множеству N(D) нулей оператора D(β). Нетрудно ви-
деть, что для всех x ∈ Ω справедливо равенство
(D(β)W)(x) = (Q(β)W)(x) = 0, x ∈ Ω. (4.34)
Следовательно, для всех x ∈ Ω вектор-функция W(x) совпадает с
некоторой вектор-функцией V(x), x ∈ R
2
, принадлежащей множе-
ству N(Q) нулей оператора Q(β):
W(x) = V(x), x ∈ Ω. (4.35)
По определению оператора D(β) имеем для всех x ∈ R
2
следующее
равенство:
(D(β)W) (x) = W(x) +
1
2
η(x)W(x)− (4.36)
−p(x)
Z
R
2
(T (β; x, y) + L (β; x, y))
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
W(y)
dy− (4.37)
100                                            Волновод в плоско-слоистой среде


Непосредственными вычислениями получаем представление матрич-
ного символа Ψ∗ (x, α) оператора S ∗ :
                      ³ 2     ´       ³ 2         ´              
                         n (x)   2      n (x)
                 1 + n2 − 1 α1 (ϕ)       n2∞ ³− 1 α1 (ϕ)α 2 (ϕ) 0
               ³          ∞´                         ´           
  Ψ∗ (x, α) =    n2 (x)                      n2 (x)    2
               n2 − 1 α1 (ϕ)α2 (ϕ) 1 + n2 − 1 α2 (ϕ) 0 
                                                                  
                    ∞                                      ∞

                                0                          1   0
                                                           (4.31)
для x ∈ R2 , α ∈ Θ. Функция n вещественна, следовательно матрич-
ный символ Ψ(x, α) сингулярного интегрального оператора S равен
символу Ψ∗ (x, α):

                 Ψ(x, α) = Ψ∗ (x, α),        x ∈ R2 , α ∈ Θ.             (4.32)

Очевидно, имеют место следующие неравенства:
                            inf       |det Ψ(x, α)| > 0,
                        ¯x∈R2 ,µα∈Θ                            ¶¯
                        ¯          Ψ1,1 (x, α) Ψ1,2 (x, α)      ¯
                inf     ¯det                                    ¯ > 0,   (4.33)
             x∈R2 , α∈Θ ¯          Ψ2,1 (x, α) Ψ2,2 (x, α)      ¯
                               inf
                                2
                                      |Ψ1,1 (x, α)| > 0.
                         x∈R , α∈Θ

Следовательно (см., теорему 4.21), оператор D(β) фредгольмов.
   Докажем теперь, что индекс оператора Q(β) равен индексу опе-
ратора D(β) для всех β ∈ Λ b (1) . Пусть вектор-функция W(x), x ∈ R2
                             0
принадлежит множеству N (D) нулей оператора D(β). Нетрудно ви-
деть, что для всех x ∈ Ω справедливо равенство

              (D(β)W)(x) = (Q(β)W)(x) = 0,                   x ∈ Ω.      (4.34)

Следовательно, для всех x ∈ Ω вектор-функция W(x) совпадает с
некоторой вектор-функцией V(x), x ∈ R2 , принадлежащей множе-
ству N (Q) нулей оператора Q(β):

                          W(x) = V(x),         x ∈ Ω.                    (4.35)

По определению оператора D(β) имеем для всех x ∈ R2 следующее
равенство:
                                       1
              (D(β)W) (x) = W(x) + η(x)W(x)−             (4.36)
                                       2
        Z                           µµ 2       ¶    ¶
                                      n (y)
  −p(x) (T (β; x, y) + L (β; x, y))         − 1 W(y) dy− (4.37)
                                       n2∞
        R2

Страницы