Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

102 Волновод в плоско-слоистой среде
Согласно доказанному выше, индекс оператора D(β) равен нулю.
Следовательно, равен нулю и индекс оператора Q(β).
Оператор D(β) фредгольмов, а значит, нормально разрешим. До-
кажем теперь, что оператор Q(β) также нормально разрешим. Рас-
смотрим уравнение
(Q(β)W)(x) = W
0
(x), x ∈ Ω, (4.47)
где вектор правой части W
0
ортогонален множеству N(Q
∗
) нулей
оператора Q
∗
(β). Пусть вектор-функция U
0
∈ (L
2
(R
2
))
3
совпадает с
вектор-функцией W
0
(x) для всех x ∈ Ω и тождественно равна ну-
лю в Ω
∞
. Используем представления (4.42), (4.44) для нулей опера-
тора D
∗
(β) и придем к заключению, что вектор-функция U
0
орто-
гональна множеству нулей оператора D
∗
(β). Следовательно, в силу
фредгольмовости оператора D(β) существует решение U ∈ (L
2
(R
2
))
3
уравнения
(D(β)U)(x) = U
0
(x), x ∈ R
2
. (4.48)
Представим вектор-функцию U(x) в виде суммы двух вектор-
функций:
U(x) = V(x) + W(x), x ∈ R
2
, (4.49)
где V(x) = 0 при x ∈ Ω, а W(x) = 0 при x ∈ Ω
∞
. Заметим,
что для такой вектор-функции W(x) справедливо равенство (4.34), а
вектор-функция U(x) удовлетворяет уравнению (4.48). Следователь-
но, при x ∈ Ω имеем цепочку равенств
W
0
(x) = U
0
(x) = (4.50)
= (D(β)U)(x) = (D(β)W)(x) = (Q(β)W)(x), x ∈ Ω. (4.51)
Таким образом, для любой вектор-функции W
0
, ортогональной
множеству N(Q
∗
) нулей оператора Q
∗
(β), существует решение W
из (L
2
(Ω))
3
уравнения (4.47). А это значит, что оператор Q(β) нор-
мально разрешим для всех β ∈
b
Λ
(1)
0
. Итак, для всех β ∈
b
Λ
(1)
0
опера-
тор Q(β) нормально разрешим, индекс его равен нулю, следователь-
но, по определению он фредгольмов. ¤
Определение 4.15. Ненулевой вектор F ∈ [L
2
(Ω)]
3
будем на-
зывать собственным вектором оператор-функции Q(β), отвечающим
характеристическому значению β ∈
b
Λ
(1)
0
, если выполнено уравнение
Q(β)F = 0. (4.52)
102                                      Волновод в плоско-слоистой среде


Согласно доказанному выше, индекс оператора D(β) равен нулю.
Следовательно, равен нулю и индекс оператора Q(β).
   Оператор D(β) фредгольмов, а значит, нормально разрешим. До-
кажем теперь, что оператор Q(β) также нормально разрешим. Рас-
смотрим уравнение

                   (Q(β)W)(x) = W0 (x),        x ∈ Ω,             (4.47)

где вектор правой части W0 ортогонален множеству N (Q∗ ) нулей
оператора Q∗ (β). Пусть вектор-функция U0 ∈ (L2 (R2 ))3 совпадает с
вектор-функцией W0 (x) для всех x ∈ Ω и тождественно равна ну-
лю в Ω∞ . Используем представления (4.42), (4.44) для нулей опера-
тора D∗ (β) и придем к заключению, что вектор-функция U0 орто-
гональна множеству нулей оператора D ∗ (β). Следовательно, в силу
фредгольмовости оператора D(β) существует решение U ∈ (L2 (R2 ))3
уравнения
                   (D(β)U)(x) = U0 (x), x ∈ R2 .             (4.48)
Представим вектор-функцию U(x) в виде суммы двух вектор-
функций:
                U(x) = V(x) + W(x), x ∈ R2 ,       (4.49)
где V(x) = 0 при x ∈ Ω, а W(x) = 0 при x ∈ Ω∞ . Заметим,
что для такой вектор-функции W(x) справедливо равенство (4.34), а
вектор-функция U(x) удовлетворяет уравнению (4.48). Следователь-
но, при x ∈ Ω имеем цепочку равенств

                           W0 (x) = U0 (x) =                      (4.50)

      = (D(β)U)(x) = (D(β)W)(x) = (Q(β)W)(x),           x ∈ Ω.    (4.51)
Таким образом, для любой вектор-функции W 0 , ортогональной
множеству N (Q∗ ) нулей оператора Q∗ (β), существует решение W
из (L2 (Ω))3 уравнения (4.47). А это значит, что оператор Q(β) нор-
мально разрешим для всех β ∈ Λ   b (1) . Итак, для всех β ∈ Λ
                                                            b (1) опера-
                                   0                          0
тор Q(β) нормально разрешим, индекс его равен нулю, следователь-
но, по определению он фредгольмов. ¤
   Определение 4.15. Ненулевой вектор F ∈ [L2 (Ω)]3 будем на-
зывать собственным вектором оператор-функции Q(β), отвечающим
                                 b (1) , если выполнено уравнение
характеристическому значению β ∈ Λ 0

                              Q(β)F = 0.                          (4.52)

Страницы