Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора 103
Теорема 4.23. Пусть {E, H} ∈ U
6
— собственный вектор за-
дачи (4.9) – (4.11), отвечающий собственному значению β
0
∈
b
Λ
(1)
0
.
Тогда
F = E ∈ [L
2
(Ω)]
3
, x ∈ Ω,
— собственный вектор оператор-функции Q(β), отвечающий тому
же самому характеристическому значению β
0
.
Утверждение теоремы непосредственно следует из леммы 4.4.
Приложение А. Приведем явный вид функций
R
α
(β; x
2
, y
2
; λ) , α = t, n, c
для (x, y) ∈ Ω
2
2
. Способ их построения методом преобразования Фурье
изложен, например, в статье [37]:
R
t
=
R
1
t
e
p
2
(x
2
−y
2
)
+ R
2
t
e
−p
2
(x
2
−y
2
)
+ R
3
t
e
p
2
(x
2
+y
2
)
+ R
4
t
e
−p
2
(x
2
+y
2
)
Z
H
,
R
n
=
R
1
n
e
p
2
(x
2
−y
2
)
+ R
2
n
e
−p
2
(x
2
−y
2
)
+ R
3
n
e
p
2
(x
2
+y
2
)
+ R
4
n
e
−p
2
(x
2
+y
2
)
Z
E
,
R
c
=
R
1
c
e
p
2
(x
2
−y
2
)
+ R
2
c
e
−p
2
(x
2
−y
2
)
+ R
3
c
e
p
2
(x
2
+y
2
)
+ R
4
c
e
−p
2
(x
2
+y
2
)
Z
E
Z
H
.
Для трехслойной геометрии
Z
H
(β, λ) =
µ
1 +
p
3
p
2
µ
1 +
p
1
p
2
e
2p
2
d
−
µ
1 −
p
3
p
2
µ
1 −
p
1
p
2
,
Z
E
(β, λ) =
µ
1 +
p
3
p
2
N
2
32
µ
1 +
p
1
p
2
N
2
12
e
2p
2
d
−
µ
1 −
p
3
p
2
N
2
32
µ
1 −
p
1
p
2
N
2
12
,
R
1
t
(β, λ) = R
2
t
(β, λ) =
µ
1 −
p
3
p
2
µ
1 −
p
1
p
2
,
R
3
t
(β, λ) =
µ
1 +
p
3
p
2
µ
1 −
p
1
p
2
,
R
4
t
(β, λ) =
µ
1 −
p
3
p
2
µ
1 +
p
1
p
2
e
2p
2
d
,
§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора                                    103


   Теорема 4.23. Пусть {E, H} ∈ U 6 — собственный вектор за-
                                                           b (1) .
дачи (4.9) – (4.11), отвечающий собственному значению β0 ∈ Λ 0
Тогда
                      F = E ∈ [L2 (Ω)]3 , x ∈ Ω,
— собственный вектор оператор-функции Q(β), отвечающий тому
же самому характеристическому значению β0 .
    Утверждение теоремы непосредственно следует из леммы 4.4.
    Приложение А. Приведем явный вид функций

                           Rα (β; x2 , y2 ; λ) ,    α = t, n, c

для (x, y) ∈ Ω22 . Способ их построения методом преобразования Фурье
изложен, например, в статье [37]:

        Rt1 ep2 (x2 −y2 ) + Rt2 e−p2 (x2 −y2 ) + Rt3 ep2 (x2 +y2 ) + Rt4 e−p2 (x2 +y2 )
   Rt =                                                                                 ,
                                              ZH
        Rn1 ep2 (x2 −y2 ) + Rn2 e−p2 (x2 −y2 ) + Rn3 ep2 (x2 +y2 ) + Rn4 e−p2 (x2 +y2 )
   Rn =                                                                                  ,
                                              ZE
        Rc1 ep2 (x2 −y2 ) + Rc2 e−p2 (x2 −y2 ) + Rc3 ep2 (x2 +y2 ) + Rc4 e−p2 (x2 +y2 )
   Rc =                                                                                 .
                                           ZEZH
Для трехслойной геометрии
                µ        ¶µ         ¶          µ          ¶µ        ¶
                     p 3        p 1                   p 3       p 1
    Z H (β, λ) = 1 +         1+       e2p2 d − 1 −           1−       ,
                     p2         p2                    p2        p2
                µ            ¶µ              ¶
      E                 p3             p1
    Z (β, λ) = 1 +         2    1+        2    e2p2 d
                     p2 N32          p2 N12
                µ            ¶µ              ¶
                        p3             p1
               − 1−        2   1−         2    ,
                     p2 N32          p2 N12

                                                µ   ¶µ           ¶
                                                p 3          p 1
                Rt1 (β, λ) = Rt2 (β, λ) = 1 −           1−         ,
                                                p2           p2
                             µ          ¶µ        ¶
                  3                 p3        p1
                Rt (β, λ) = 1 +            1−       ,
                                    p2        p2
                             µ          ¶µ        ¶
                                    p 3       p 1
                Rt4 (β, λ) = 1 −           1+       e2p2 d ,
                                    p2        p2

Страницы