Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора 101
−
Z
R
2
T
1
(x, y)
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
W(y)
dy. (4.38)
Из двух последних равенств, учитывая то, что n(x) = n
∞
, x ∈ Ω
∞
, по-
лучаем представление вектор-функции W(x) для x ∈ Ω
∞
через V(x):
W(x) = p(x)
Z
Ω
(T (β; x, y) + L (β; x, y))
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
V(y)
dy+
(4.39)
+
Z
Ω
T
1
(x, y)
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
V(y)
dy. (4.40)
Таким образом, нули оператора D(β) взаимно однозначно связаны
с нулями оператора Q(β), и, следовательно, размерности множеств
нулей этих операторов совпадают:
dimN(D) = dimN(Q). (4.41)
Пусть теперь вектор-функция W
∗
(x), x ∈ R
2
принадлежит мно-
жеству N(D
∗
) нулей оператора D
∗
(β). Учитывая явный вид этого
оператора (4.25) – (4.27), получим
(D
∗
(β)W
∗
) (x) = W
∗
(x) = 0, x ∈ Ω
∞
. (4.42)
Из этого равенства и равенств (4.25) – (4.27), (4.21) имеем:
(D
∗
(β)W
∗
) (x) = (Q
∗
(β)W
∗
) (x) = 0, x ∈ Ω. (4.43)
Следовательно, для всех x ∈ Ω вектор-функция W
∗
(x) совпадает с
некоторой вектор-функцией V
∗
(x), x ∈ R
2
, принадлежащей множе-
ству N(Q
∗
) нулей оператора Q
∗
(β):
W
∗
(x) = V
∗
(x), x ∈ Ω. (4.44)
Таким образом, нули оператора D
∗
(β) взаимно однозначно связаны
с нулями оператора Q
∗
(β), и, следовательно, размерности множеств
нулей этих операторов совпадают:
dimN(D
∗
) = dimN(Q
∗
). (4.45)
Окончательно, используя (4.41) и (4.45), для всех β ∈
b
Λ
(1)
0
имеем
равенство индексов оператора Q(β) и оператора D(β):
IndD = dimN(D) − dimN(D
∗
) = dimN(Q) − dimN(Q
∗
) = IndQ.
(4.46)
§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора                101

                     Z               µµ             ¶    ¶
                                          n2 (y)
                 −       T1 (x, y)               − 1 W(y) dy.          (4.38)
                                           n2∞
                    R2
Из двух последних равенств, учитывая то, что n(x) = n∞ , x ∈ Ω∞ , по-
лучаем представление вектор-функции W(x) для x ∈ Ω∞ через V(x):
              Z                           µµ 2       ¶      ¶
                                            n (y)
  W(x) = p(x) (T (β; x, y) + L (β; x, y))         − 1 V(y) dy+
                                             n2∞
                Ω
                     Z               µµ           ¶       ¶            (4.39)
                                           2
                                          n (y)
                 +       T1 (x, y)              − 1 V(y) dy.           (4.40)
                                           n2∞
                     Ω
Таким образом, нули оператора D(β) взаимно однозначно связаны
с нулями оператора Q(β), и, следовательно, размерности множеств
нулей этих операторов совпадают:
                            dimN (D) = dimN (Q).                       (4.41)
   Пусть теперь вектор-функция W∗ (x), x ∈ R2 принадлежит мно-
жеству N (D ∗ ) нулей оператора D ∗ (β). Учитывая явный вид этого
оператора (4.25) – (4.27), получим
                (D∗ (β)W∗ ) (x) = W∗ (x) = 0,         x ∈ Ω∞ .         (4.42)
Из этого равенства и равенств (4.25) – (4.27), (4.21) имеем:
             (D∗ (β)W∗ ) (x) = (Q∗ (β)W∗ ) (x) = 0,           x ∈ Ω.   (4.43)
Следовательно, для всех x ∈ Ω вектор-функция W ∗ (x) совпадает с
некоторой вектор-функцией V∗ (x), x ∈ R2 , принадлежащей множе-
ству N (Q∗ ) нулей оператора Q∗ (β):
                           W∗ (x) = V∗ (x),      x ∈ Ω.                (4.44)
Таким образом, нули оператора D ∗ (β) взаимно однозначно связаны
с нулями оператора Q∗ (β), и, следовательно, размерности множеств
нулей этих операторов совпадают:
                           dimN (D ∗ ) = dimN (Q∗ ).                   (4.45)
                                                      b (1) имеем
Окончательно, используя (4.41) и (4.45), для всех β ∈ Λ 0
равенство индексов оператора Q(β) и оператора D(β):
  IndD = dimN (D) − dimN (D ∗ ) = dimN (Q) − dimN (Q∗ ) = IndQ.
                                                            (4.46)

Страницы