Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора 99
в [L
2
(R
2
)]
3
. Обозначим их через C(β) и C
∗
(β) соответственно. Поло-
жим для x ∈ R
2
(SE) (x) = E(x) +
1
2
η(x)E(x)− (4.28)
−
Z
R
2
T
1
(x, y)
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
E(y)
dy,
тогда
(S
∗
E) (x) = E(x) +
1
2
η(x)E(x)− (4.29)
−
µ
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
Z
R
2
T
1
(x, y) E(y)dy
и
D(β) = C(β) + S, D
∗
(β) = C
∗
(β) + S
∗
,
где S
∗
=
£
S
∗
l,m
¤
3
l,m=1
— матричный интегральный оператор. Непосред-
ственными вычислениями для x ∈ R
2
и l, m = 1, 2 получим
¡
S
∗
l,m
E
m
¢
(x) =
µ
1 +
1
2
µ
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
¶¶
δ
l,m
E
m
(x)−
−
µ
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
Z
R
2
(2α
l
(ϕ)α
m
(ϕ) − δ
l,n
)
E
m
(y)
2π |x − y|
2
dy,
¡
S
∗
3,3
E
3
¢
(x) = E
3
(x),
¡
S
∗
l,3
E
3
¢
(x) = 0,
¡
S
∗
3,m
E
m
¢
(x) = 0,
где δ
l,m
— символ Кронекера; α
1
(ϕ) и α
2
(ϕ) — декартовы координаты
точки α = (y −x) / |x − y|. Точка α принадлежит окружности
Θ =
©
x ∈ R
2
: |x| = 1
ª
,
и
α
1
(ϕ) = cos ϕ, α
2
(ϕ) = sin ϕ, (4.30)
где ϕ — угловая координата точки α. Функция n непрерывна в Ω
2
,
и n(x) = n
∞
для x ∈ R
2
\ Ω. Следовательно, характеристики опе-
раторов S
∗
l,n
непрерывны в R
2
и не зависят от x для x ∈ R
2
\ Ω.
§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора            99


в [L2 (R2 )]3 . Обозначим их через C(β) и C ∗ (β) соответственно. Поло-
жим для x ∈ R2
                                     1
                   (SE) (x) = E(x) + η(x)E(x)−                   (4.28)
                                     2
                  Z          µµ 2       ¶    ¶
                               n (y)
                 − T1 (x, y)         − 1 E(y) dy,
                                n2∞
                   R2
тогда
                                         1
                   (S ∗ E) (x) = E(x) + η(x)E(x)−                (4.29)
                                         2
                     µ 2         ¶Z
                        n (x)
                   −          −1      T1 (x, y) E(y)dy
                         n2∞
                                       R2
и
               D(β) = C(β) + S, D ∗ (β) = C ∗ (β) + S ∗ ,
         £ ∗ ¤3
где S ∗ = Sl,m  l,m=1
                      — матричный интегральный оператор. Непосред-
ственными вычислениями для x ∈ R2 и l, m = 1, 2 получим
                           µ        µ          ¶¶
          ¡ ∗       ¢             1 n2 (x)
           Sl,m Em (x) = 1 +               −1        δl,m Em (x)−
                                  2    n2∞
           µ 2          ¶Z
             n (x)                                     Em (y)
         −           −1     (2αl (ϕ)αm (ϕ) − δl,n )             dy,
              n∞2
                                                    2π |x − y|2
                         R2
                         ¡ ∗      ¢
                           S3,3 E3 (x) = E3 (x),
                            ¡ ∗ ¢
                             Sl,3 E3 (x) = 0,
                           ¡ ∗       ¢
                            S3,m Em (x) = 0,
где δl,m — символ Кронекера; α1 (ϕ) и α2 (ϕ) — декартовы координаты
точки α = (y − x) / |x − y|. Точка α принадлежит окружности
                             ©               ª
                       Θ = x ∈ R2 : |x| = 1 ,

и
                     α1 (ϕ) = cos ϕ,        α2 (ϕ) = sin ϕ,      (4.30)
где ϕ — угловая координата точки α. Функция n непрерывна в Ω2 ,
и n(x) = n∞ для x ∈ R2 \ Ω. Следовательно, характеристики опе-
         ∗
раторов Sl,n непрерывны в R2 и не зависят от x для x ∈ R2 \ Ω.

Страницы