Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора 97
Φ
1
(x, y) = −
1
2π
ln |x − y|,
Φ
0
(β; x, y) = Φ(β; x, y) − Φ
1
(x, y),
L(β; x, y)F(y) =
¡
k
2
n
2
∞
+ grad
β
div
β
¢
G
s
(β; x, y)F(y),
F = (F
1
, F
2
)
T
.
Утверждение леммы доказывается непосредственными вычисле-
ниями. Для этого надо внести оператор grad
β
div
β
под знак интегра-
ла в соотношении (4.19) и испольовать правило дифференцирования
слабо сингулярных интегралов (см., теорему 4.19). Отметим, что при-
менение этих преобразований обосновано, так как плотности возника-
ющих сингулярных интегралов равны нулю вне области Ω и принад-
лежат пространству L
2
(Ω) в силу гладкости E и n. Отметим также,
что для любого β ∈
b
Λ
(1)
0
и y ∈ Ω функции G
s
(β; x, y) и Φ
0
(β; x, y)
дважды непрерывно дифференцируемы по x ∈ Ω.
Для всех β ∈
b
Λ
(1)
0
оператор Q(β), определенный равенством
(4.20), будем рассматривать как оператор в пространстве комплексно-
значных функций [L
2
(Ω)]
3
. Для всех β ∈
b
Λ
(1)
0
оператор Q(β) имеет
сильно сингулярное ядро T
1
(x, y).
§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального
оператора
Теорема 4.22. При любом β ∈
b
Λ
(1)
0
оператор Q(β) фредгольмов.
Доказательство. Пусть β — фиксированное число, принадле-
жащее
b
Λ
(1)
0
. Через Q
∗
(β) обозначим оператор, сопряженный с Q(β).
Непосредственными вычислениями для x ∈ Ω получим
(Q
∗
(β)E) (x) = E(x) +
1
2
η(x)E(x)−
−
µ
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
Z
Ω
T
p
(β; x, y) E(y)dy− (4.21)
−
µ
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
Z
Ω
T
1
(x, y) E(y)dy−
−
µ
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
Z
Ω
L
p
(β; x, y) E(y)dy,
§ 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора             97


                                      1
                       Φ1 (x, y) = −     ln |x − y| ,
                                     2π
                   Φ0 (β; x, y) = Φ(β; x, y) − Φ1 (x, y),
                            ¡                   ¢
         L(β; x, y)F(y) = k 2 n2∞ + gradβ divβ Gs (β; x, y)F(y),
                             F = (F1 , F2 )T .

    Утверждение леммы доказывается непосредственными вычисле-
ниями. Для этого надо внести оператор gradβ divβ под знак интегра-
ла в соотношении (4.19) и испольовать правило дифференцирования
слабо сингулярных интегралов (см., теорему 4.19). Отметим, что при-
менение этих преобразований обосновано, так как плотности возника-
ющих сингулярных интегралов равны нулю вне области Ω и принад-
лежат пространству L2 (Ω) в силу гладкости E и n. Отметим также,
что для любого β ∈ Λ  b (1) и y ∈ Ω функции Gs (β; x, y) и Φ0 (β; x, y)
                         0
дважды непрерывно дифференцируемы по x ∈ Ω.
    Для всех β ∈ Λ   b (1) оператор Q(β), определенный равенством
                       0
(4.20), будем рассматривать как оператор в пространстве комплексно-
значных функций [L2 (Ω)]3 . Для всех β ∈ Λ b (1) оператор Q(β) имеет
                                             0
сильно сингулярное ядро T1 (x, y).

     § 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального
                          оператора
                                b (1) оператор Q(β) фредгольмов.
    Теорема 4.22. При любом β ∈ Λ 0
   Доказательство. Пусть β — фиксированное число, принадле-
      b (1) . Через Q∗ (β) обозначим оператор, сопряженный с Q(β).
жащее Λ 0
Непосредственными вычислениями для x ∈ Ω получим
                                           1
                  (Q∗ (β)E) (x) = E(x) + η(x)E(x)−
                                           2
                   µ 2         ¶Z
                    n (x)
                 −      2
                            −1     T p (β; x, y) E(y)dy−           (4.21)
                      n∞
                                 Ω
                    µ 2         ¶Z
                       n (x)
                  −          −1      T1 (x, y) E(y)dy−
                        n2∞
                                   Ω
                   µ 2          ¶Z
                     n (x)
                 −       2
                            −1      Lp (β; x, y) E(y)dy,
                       n∞
                                   Ω

Страницы