Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

98 Волновод в плоско-слоистой среде
T
p
F =
(
KF)
1
+ iβF
1
∂Φ/∂x
1
(
KF)
2
+ iβF
2
∂Φ/∂x
2
i
βF
3
∂Φ/∂x
1
+ iβF
3
∂Φ/∂x
2
+
³
k
2
n
2
∞
−
β
2
´
F
3
Φ
,
L
p
F =
¡
k
2
n
2
∞
+
grad
β
div
β
¢
G
s
(β; y, x)
T
F(y),
где grad
β
и div
β
означает, что множитель (iβ) заменяется множите-
лем (−iβ); G
T
— матрица транспонированная к G.
Заметим, что ядро T
1
(x, y) сильно сингулярное, самосопряженное
и не зависит от β; ядра T (β; x, y), T
p
(β; x, y) слабо полярные для
любого β ∈
b
Λ
(1)
0
; ядра L (β; x, y) и L
p
(β; x, y) непрерывны по x, y ∈ Ω
для любого β ∈
b
Λ
(1)
0
.
Докажем теперь, что оператор Q(β) фредгольмов. Будем исполь-
зовать теорему 4.21. Положим
(D(β)E) (x) = E(x) +
1
2
η(x)E(x)− (4.22)
−p(x)
Z
R
2
(T (β; x, y) + L (β; x, y))
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
E(y)
dy− (4.23)
−
Z
R
2
T
1
(x, y)
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
E(y)
dy, (4.24)
где x ∈ R
2
и p(x) — бесконечно дифференцируемая вещественно-
значная функция, имеющая компактный носитель в R
2
, и тожде-
ственно равная единице для x ∈ Ω. Для всех β ∈
b
Λ
(1)
0
опера-
тор D(β) будем рассматривать как оператор в пространстве ком-
плекснозначных функций [L
2
(R
2
)]
3
. Непосредственными вычислени-
ями для x ∈ R
2
получим
(D
∗
(β)E) (x) = E(x) +
1
2
η(x)E(x)− (4.25)
−
µ
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
Z
R
2
p(y) (T
p
(β; x, y) + L
p
(β; x, y)) E(y)dy− (4.26)
−
µ
n
2
(x)
n
2
∞
− 1
Z
R
2
T
1
(x, y) E(y)dy. (4.27)
Интегральные операторы, определенные слагаемыми (4.23) и (4.26),
в силу гладкости их ядер для всех β ∈
b
Λ
(1)
0
вполне непрерывны
98                                                     Волновод в плоско-слоистой среде

                                                                             
                                   (KF)1 + iβF1 ∂Φ/∂x1
                                  (KF)2 + iβF2 ∂Φ/∂x                         
       T pF =                                    ³ 2                  ´      ,
                iβF3 ∂Φ/∂x1 + iβF3 ∂Φ/∂x2 + k 2 n2∞ − β 2 F3 Φ
                      ¡                   ¢            T
               Lp F = k 2 n2∞ + gradβ divβ Gs (β; y, x) F(y),
где gradβ и divβ означает, что множитель (iβ) заменяется множите-
лем (−iβ); GT — матрица транспонированная к G.
    Заметим, что ядро T1 (x, y) сильно сингулярное, самосопряженное
и не зависит от β; ядра T (β; x, y), T p (β; x, y) слабо полярные для
любого β ∈ Λb (1) ; ядра L (β; x, y) и Lp (β; x, y) непрерывны по x, y ∈ Ω
              0
для любого β ∈ Λ   b (1) .
                     0
    Докажем теперь, что оператор Q(β) фредгольмов. Будем исполь-
зовать теорему 4.21. Положим
                                           1
                  (D(β)E) (x) = E(x) + η(x)E(x)−                                  (4.22)
                                           2
          Z                            µµ           ¶    ¶
                                          n2 (y)
     −p(x) (T (β; x, y) + L (β; x, y))           − 1 E(y) dy−                     (4.23)
                                           n2∞
          R2
                       Z                µµ             ¶    ¶
                                             n2 (y)
                   −        T1 (x, y)               − 1 E(y) dy,                  (4.24)
                                              n2∞
                       R2
где x ∈ R2 и p(x) — бесконечно дифференцируемая вещественно-
значная функция, имеющая компактный носитель в R2 , и тожде-
ственно равная единице для x ∈ Ω. Для всех β ∈ Λ       b (1) опера-
                                                         0
тор D(β) будем рассматривать как оператор в пространстве ком-
плекснозначных функций [L2 (R2 )]3 . Непосредственными вычислени-
ями для x ∈ R2 получим
                                            1
                 (D∗ (β)E) (x) = E(x) + η(x)E(x)−                                 (4.25)
                                            2
       µ 2       ¶Z
        n (x)
     −     2
              −1      p(y) (T p (β; x, y) + Lp (β; x, y)) E(y)dy−                 (4.26)
         n∞
                        R2
                            µ            ¶Z
                      n2 (x)
                    −        −1                    T1 (x, y) E(y)dy.              (4.27)
                       n2∞
                                              R2
Интегральные операторы, определенные слагаемыми (4.23) и (4.26),
в силу гладкости их ядер для всех β ∈ Λb (1) вполне непрерывны
                                         0

Страницы