Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

96 Волновод в плоско-слоистой среде
H(x) = −iωε
0
rot
β
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
G(β; x, y)E(y)dy,
где x ∈ R
2
\ (Γ
1
∪ Γ
2
).
Сведем теперь задачу (4.9) – (4.11) к нелинейной спектральной
задаче для двумерного сингулярного интегрального уравнения, ана-
логичного уравнению, полученному в [33]. Это уравнение часто ис-
пользуется на практике потому, что оно точно учитывает поведение
поля в окружающей слоистой среде.
Лемма 4.4. Пусть {E, H} — собственный вектор задачи (4.9) –
(4.11), отвечающий собственному значению β ∈
b
Λ
(1)
0
. Тогда
(Q(β)E) (x) = 0, x ∈ Ω, (4.20)
где
(Q(β)E) (x) = E(x) +
1
2
η(x)E(x)−
−
Z
Ω
T (β; x, y)
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
E(y)
dy−
−
Z
Ω
T
1
(x, y)
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
E(y)
dy−
−
Z
Ω
L (β; x, y)
µµ
n
2
(y)
n
2
∞
− 1
E(y)
dy,
T F =
(KF)
1
+ iβF
3
∂Φ/∂x
1
(KF)
2
+ iβF
3
∂Φ/∂x
2
iβF
1
∂Φ/∂x
1
+ iβF
2
∂Φ/∂x
2
+
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢
F
3
Φ
,
T
1
F =
2
X
l=1
F
l
∂
2
Φ
1
/∂x
l
∂x
1
F
l
∂
2
Φ
1
/∂x
l
∂x
2
0
,
η(x) =
n
2
(x)Án
2
∞
− 1 0 0
0 n
2
(x)Án
2
∞
− 1 0
0 0 0
,
K(β; x, y)F(y) = k
2
n
2
∞
F(y)Φ(β; x, y)+
+
2
X
l=1
·
F
l
∂
2
Φ
0
/∂x
l
∂x
1
F
l
∂
2
Φ
0
/∂x
l
∂x
2
¸
,
96                                              Волновод в плоско-слоистой среде

                             Z
                                   ¡               ¢
         H(x) = −iωε0 rotβ             n2 (y) − n2∞ G(β; x, y)E(y)dy,
                               Ω

где x ∈ R2 \ (Γ1 ∪ Γ2 ).
    Сведем теперь задачу (4.9) – (4.11) к нелинейной спектральной
задаче для двумерного сингулярного интегрального уравнения, ана-
логичного уравнению, полученному в [33]. Это уравнение часто ис-
пользуется на практике потому, что оно точно учитывает поведение
поля в окружающей слоистой среде.
    Лемма 4.4. Пусть {E, H} — собственный вектор задачи (4.9) –
                                             b (1) . Тогда
(4.11), отвечающий собственному значению β ∈ Λ 0

                      (Q(β)E) (x) = 0,           x ∈ Ω,                  (4.20)

где
                                         1
                  (Q(β)E) (x) = E(x) + η(x)E(x)−
                                         2
                 Z            µµ 2         ¶    ¶
                                 n (y)
                − T (β; x, y)           − 1 E(y) dy−
                                  n2∞
                  Ω
                  Z          µµ 2         ¶    ¶
                                n (y)
                 − T1 (x, y)           − 1 E(y) dy−
                                 n2∞
                   Ω
                  Z           µµ 2         ¶    ¶
                                 n (y)
                − L (β; x, y)           − 1 E(y) dy,
                                   n2∞
                  Ω
                                                            
                          (KF)1 + iβF3 ∂Φ/∂x1
      TF =               (KF)2 + iβF3 ∂Φ/∂x      ¡ 22 2   ¢
                                                             ,
             iβF1 ∂Φ/∂x1 + iβF2 ∂Φ/∂x2 + k n∞ − β 2 F3 Φ
                                     2
                                                       
                          X2    F l ∂   Φ 1 /∂x l ∂x 1
                   T1 F =      Fl ∂ 2 Φ1 /∂xl ∂x2 ,
                          l=1               0
                   2                                      
                     n (x)Án2∞ − 1                0      0
          η(x) =           0           n2 (x)Án2∞ − 1 0  ,
                            0                     0      0
                K(β; x, y)F(y) = k 2 n2∞ F(y)Φ(β; x, y)+
                         X2 ·                    ¸
                              Fl ∂ 2 Φ0 /∂xl ∂x1
                      +                            ,
                              Fl ∂ 2 Φ0 /∂xl ∂x2
                         l=1

Страницы