Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

94 Волновод в плоско-слоистой среде
Обозначим Λ
(1)
0
главный (“физический”) лист римановой поверх-
ности функции ln χ(β), где
χ(β) =
q
k
2
n
2
2
− β
2
,
который определяется условиями
−π/2 < arg χ(β) < 3π/2, Im(χ(β)) ≥ 0, β ∈ Λ
(1)
0
.
Определение 4.13. Ненулевой вектор {E, H} ∈ U
6
будем на-
зывать собственным вектором задачи (4.9) – (4.11), отвечающим соб-
ственному значению
β ∈
b
Λ
(1)
0
= {β ∈ Λ
(1)
0
: Imβ = 0, |β| > kn
2
},
если выполнены условия (4.9) – (4.11).
Получим интегральное представление для любого собственного
вектора {E, H} задачи (4.9) – (4.11), отвечающего собственному зна-
чению β ∈
b
Λ
(1)
0
. Это представление будет использовано для сведения
задачи (4.9) – (4.11) к нелинейной спектральной задаче для двумер-
ного сингулярного интегрального уравнения.
Определение 4.14. Вектор-функция Π называется вектором
Герца, или поляризационным потенциалом векторного поля {E, H},
если для x ∈ R
2
\ (Γ
1
∪ Γ
2
) справедливо представление
E =
¡
k
2
n
2
∞
+ grad
β
div
β
¢
Π, (4.12)
H = −iωε
0
n
2
∞
rot
β
Π. (4.13)
Лемма 4.3. Для любого собственного вектора {E, H} зада-
чи (4.9) – (4.11), отвечающего собственному значению β ∈
b
Λ
(1)
0
,
существует поляризационный потенциал Π ∈ U
3
, который для
всех x ∈ R
2
\ (Γ
1
∪ Γ
2
) удовлетворяет уравнению
£
4 +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
Π = −
1
n
2
∞
¡
n
2
− n
2
∞
¢
E, (4.14)
и для x ∈ Γ
1
∪ Γ
2
удовлетворяет граничным условиям
Π
+
l
= N
2
Π
−
l
, l = 1, 2, 3, (4.15)
∂Π
+
l
∂x
2
= N
2
∂Π
−
l
∂x
2
, l = 1, 2, (4.16)
µ
∂Π
+
2
∂x
2
−
∂Π
−
2
∂x
2
=
¡
1 − N
2
¢
µ
∂Π
−
1
∂x
1
+ iβΠ
−
3
, (4.17)
94                                       Волновод в плоско-слоистой среде


                (1)
   Обозначим Λ0 главный (“физический”) лист римановой поверх-
ности функции ln χ(β), где
                              q
                        χ(β) = k 2 n22 − β 2 ,
который определяется условиями
                                                            (1)
        −π/2 < arg χ(β) < 3π/2,    Im(χ(β)) ≥ 0,      β ∈ Λ0 .
    Определение 4.13. Ненулевой вектор {E, H} ∈ U 6 будем на-
зывать собственным вектором задачи (4.9) – (4.11), отвечающим соб-
ственному значению
               b (1) = {β ∈ Λ(1) : Imβ = 0, |β| > kn2 },
             β∈Λ 0           0

если выполнены условия (4.9) – (4.11).
   Получим интегральное представление для любого собственного
вектора {E, H} задачи (4.9) – (4.11), отвечающего собственному зна-
чению β ∈ Λb (1) . Это представление будет использовано для сведения
             0
задачи (4.9) – (4.11) к нелинейной спектральной задаче для двумер-
ного сингулярного интегрального уравнения.
   Определение 4.14. Вектор-функция Π называется вектором
Герца, или поляризационным потенциалом векторного поля {E, H},
если для x ∈ R2 \ (Γ1 ∪ Γ2 ) справедливо представление
                           ¡                 ¢
                    E = k 2 n2∞ + gradβ divβ Π,         (4.12)
                    H = −iωε0 n2∞ rotβ Π.               (4.13)

    Лемма 4.3. Для любого собственного вектора {E, H} зада-
                                                         b (1) ,
чи (4.9) – (4.11), отвечающего собственному значению β ∈ Λ 0
существует поляризационный потенциал Π ∈ U 3 , который для
всех x ∈ R2 \ (Γ1 ∪ Γ2 ) удовлетворяет уравнению
             £      ¡           ¢¤      1 ¡      ¢
               4 + k 2 n2∞ − β 2 Π = − 2 n2 − n2∞ E,    (4.14)
                                       n∞
и для x ∈ Γ1 ∪ Γ2 удовлетворяет граничным условиям
                    Π+l = N 2 Π−
                               l ,   l = 1, 2, 3,                 (4.15)
                      +          −
                   ∂Πl        ∂Π
                        = N 2 l , l = 1, 2,                       (4.16)
                   ∂x2        ∂x2
           µ +      −¶               µ −            ¶
            ∂Π2   ∂Π2     ¡        ¢   ∂Π
                −       = 1 − N2          1
                                             + iβΠ−
                                                  3   ,           (4.17)
            ∂x2   ∂x2                   ∂x1

Страницы