Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального уравнения 95
где N = n
i+1
/n
i
для x ∈ Γ
i
; f
+
(f
−
) — предел функции f сверху
(снизу) на прямой Γ
i
. Для x ∈ R
2
поляризационный потенциал Π
имеет интегральное представление
Π(x) =
1
n
2
∞
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
G(β; x, y)E(y)dy, (4.18)
где
G(β; x, y) = Φ (β; x, y) + G
s
(β; x, y),
Φ (β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ(β) |x − y|) ,
G
s
(β; x, y) =
G
n
(β; x, y) ∂G
c
(β; x, y) /∂x
1
iβG
c
(β; x, y)
0 G
t
(β; x, y) 0
0 0 G
t
(β; x, y)
,
G
α
(β; x, y) =
1
2π
∞
Z
−∞
R
α
(β; x
2
, y
2
; λ)
exp (iλ (x
1
− y
1
))
2
p
λ
2
+ β
2
− k
2
n
2
2
dλ,
α = t, n, c.
Функции R
α
определяются геометрией задачи и для трехслойной
окружающей среды представлены в приложении А, с. 103; H
(1)
0
—
функция Ханкеля первого рода индекса 0.
Доказательство. Известно, что существует такой вектор Π,
что представление (4.12), (4.13) и уравнение (4.14) справедливы (см.,
напр., [35]). Если поляризационный потенциал Π удовлетворяет усло-
виям (4.15) – (4.17), то векторы E и H, имеющие представление (4.12),
(4.13) удовлетворяют условиям (4.11). Задача (4.14) – (4.17) имеет ре-
шение в виде (4.18) [33]. Функция G(β; x, y) — хорошо известная тен-
зорная функция Грина для поляризационного потенциала [34]. Ис-
пользуя представление (4.18) для поляризационного потенциала Π
можно доказать, что Π ∈U
3
для любого β ∈
b
Λ
(1)
0
. ¤
Используем (4.12), (4.18) и получим интегральное представление
для любого собственного вектора {E, H} задачи (4.9) – (4.11), отвеча-
ющего собственному значению β ∈
b
Λ
(1)
0
:
E(x) =
¡
k
2
n
2
∞
+ grad
β
div
β
¢
1
n
2
∞
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
G(β; x, y)E(y)dy,
(4.19)
§ 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального уравнения           95


где N = ni+1 /ni для x ∈ Γi ; f + (f − ) — предел функции f сверху
(снизу) на прямой Γi . Для x ∈ R2 поляризационный потенциал Π
имеет интегральное представление
                       Z
                    1    ¡ 2            ¢
            Π(x) = 2      n (y) − n2∞ G(β; x, y)E(y)dy,      (4.18)
                   n∞
                           Ω

где
                G(β; x, y) = Φ (β; x, y) + Gs (β; x, y),
                                 i (1)
                Φ (β; x, y) = H0 (χ(β) |x − y|) ,
                                 4
                                                                      
                     Gn (β; x, y) ∂Gc (β; x, y) /∂x1 iβGc (β; x, y)
  Gs (β; x, y) =          0             Gt (β; x, y)            0     ,
                           0                  0           Gt (β; x, y)
                      Z∞
                   1                         exp (iλ (x1 − y1 ))
  Gα (β; x, y) =         Rα (β; x2 , y2 ; λ) p                   dλ,
                  2π                        2 λ2 + β 2 − k 2 n22
                      −∞

                                α = t, n, c.
Функции Rα определяются геометрией задачи и для трехслойной
                                                       (1)
окружающей среды представлены в приложении А, с. 103; H0 —
функция Ханкеля первого рода индекса 0.
    Доказательство. Известно, что существует такой вектор Π,
что представление (4.12), (4.13) и уравнение (4.14) справедливы (см.,
напр., [35]). Если поляризационный потенциал Π удовлетворяет усло-
виям (4.15) – (4.17), то векторы E и H, имеющие представление (4.12),
(4.13) удовлетворяют условиям (4.11). Задача (4.14) – (4.17) имеет ре-
шение в виде (4.18) [33]. Функция G(β; x, y) — хорошо известная тен-
зорная функция Грина для поляризационного потенциала [34]. Ис-
пользуя представление (4.18) для поляризационного потенциала Π
можно доказать, что Π ∈U 3 для любого β ∈ Λ     b (1) . ¤
                                                  0
    Используем (4.12), (4.18) и получим интегральное представление
для любого собственного вектора {E, H} задачи (4.9) – (4.11), отвеча-
ющего собственному значению β ∈ Λ    b (1) :
                                       0
                                   Z
           ¡                  ¢ 1     ¡ 2            ¢
   E(x) = k 2 n2∞ + gradβ divβ 2        n (y) − n2∞ G(β; x, y)E(y)dy,
                               n∞
                                     Ω
                                                                     (4.19)

Страницы