Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального уравнения 93
Предположим, что Ω ⊂ Ω
2
и n(x) является непрерывной функцией в
бесконечной области Ω
2
, то есть волновод имеет размытую границу.
Обозначим через Γ
1
и Γ
2
границы области Ω
2
:
Γ
1
= {(x
1
, x
2
) : −∞ < x
1
< ∞, x
2
= d},
Γ
2
= {(x
1
, x
2
) : −∞ < x
1
< ∞, x
2
= 0}.
Для простоты рассуждений мы рассматриваем трехслойную сре-
ду, где возмущение показателя преломления находится целиком в цен-
тральном слое, но, в действительности, методами, используемыми в
данном параграфе, может быть исследована задача с произвольным
конечным числом параллельных слоев, если возмущение целиком на-
ходится в одном из них, и волновод имеет размытую границу.
Задача о собственных волнах волновода может быть сформули-
рована как векторная спектральная задача для системы уравнений
Максвелла (1.1), с. 6, в предположении, что векторы напряженности
электрического и магнитного поля имеют вид (1.2), с. 7. Мы рассмат-
риваем постоянную распространения β как неизвестный веществен-
ный параметр и ω > 0 как заданный параметр. Для полей, имеющих
форму (1.2), система уравнений Максвелла (1.1) сводится к следую-
щей системе уравнений:
rot
β
E = iωµ
0
H, x ∈ R
2
\ (Γ
1
∪ Γ
2
) , (4.9)
rot
β
H = −iωε
0
n
2
E, x ∈ R
2
\ (Γ
1
∪ Γ
2
) , (4.10)
где векторная операция rot
β
определена равенством (1.4), с. 7.
Обозначим через U множество функций, непрерывных и непре-
рывно дифференцируемых в Ω
1
, Ω
2
и Ω
3
, дважды непрерывно диф-
ференцируемых в Ω
1
, Ω
2
и Ω
3
, кроме того, экспоненциально убыва-
ющих при |x| → ∞ по любому направлению, не параллельному пря-
мым Γ
j
, и ограниченных при |x| → ∞ параллельно прямым Γ
j
. Бу-
дем разыскивать нетривиальные решения {E, H} системы уравнений
(4.9), (4.10) в пространстве U
6
. На границах раздела сред векторы E
и H должны удовлетворять условиям сопряжения (см. главy 1)
ν × E
+
= ν × E
−
, ν × H
+
= ν × H
−
, x ∈ Γ
j
, j = 1, 2. (4.11)
Здесь ν — вектор нормали к Γ
j
, f
+
(f
−
) — предел функции f сверху
(снизу) прямой Γ
j
, j = 1, 2.
§ 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального уравнения       93


Предположим, что Ω ⊂ Ω2 и n(x) является непрерывной функцией в
бесконечной области Ω2 , то есть волновод имеет размытую границу.
Обозначим через Γ1 и Γ2 границы области Ω2 :

             Γ1 = {(x1 , x2 ) : −∞ < x1 < ∞,       x2 = d},
             Γ2 = {(x1 , x2 ) : −∞ < x1 < ∞,       x2 = 0}.

     Для простоты рассуждений мы рассматриваем трехслойную сре-
ду, где возмущение показателя преломления находится целиком в цен-
тральном слое, но, в действительности, методами, используемыми в
данном параграфе, может быть исследована задача с произвольным
конечным числом параллельных слоев, если возмущение целиком на-
ходится в одном из них, и волновод имеет размытую границу.
     Задача о собственных волнах волновода может быть сформули-
рована как векторная спектральная задача для системы уравнений
Максвелла (1.1), с. 6, в предположении, что векторы напряженности
электрического и магнитного поля имеют вид (1.2), с. 7. Мы рассмат-
риваем постоянную распространения β как неизвестный веществен-
ный параметр и ω > 0 как заданный параметр. Для полей, имеющих
форму (1.2), система уравнений Максвелла (1.1) сводится к следую-
щей системе уравнений:

              rotβ E = iωµ0 H, x ∈ R2 \ (Γ1 ∪ Γ2 ) ,                  (4.9)
              rotβ H = −iωε0 n2 E, x ∈ R2 \ (Γ1 ∪ Γ2 ) ,             (4.10)

где векторная операция rotβ определена равенством (1.4), с. 7.
    Обозначим через U множество функций, непрерывных и непре-
рывно дифференцируемых в Ω1 , Ω2 и Ω3 , дважды непрерывно диф-
ференцируемых в Ω1 , Ω2 и Ω3 , кроме того, экспоненциально убыва-
ющих при |x| → ∞ по любому направлению, не параллельному пря-
мым Γj , и ограниченных при |x| → ∞ параллельно прямым Γj . Бу-
дем разыскивать нетривиальные решения {E, H} системы уравнений
(4.9), (4.10) в пространстве U 6 . На границах раздела сред векторы E
и H должны удовлетворять условиям сопряжения (см. главy 1)

   ν × E+ = ν × E − ,   ν × H+ = ν × H− ,     x ∈ Γj ,   j = 1, 2.   (4.11)

Здесь ν — вектор нормали к Γj , f + (f − ) — предел функции f сверху
(снизу) прямой Γj , j = 1, 2.

Страницы