Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального уравнения 91
оператора A
l,m
. Матрица
Ψ(x, α) =
Ψ
1,1
(x, α) Ψ
1,2
(x, α) ··· Ψ
1,N
(x, α)
Ψ
2,1
(x, α) Ψ
2,2
(x, α) ··· Ψ
2,N
(x, α)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ψ
N,1
(x, α) Ψ
N,2
(x, α) ··· Ψ
N,N
(x, α)
(4.7)
называется матричным символом или просто символом матричного
оператора A. Справедлива следующая теорема [44, стр. 368].
Теорема 4.21. Пусть A — матричный сингулярный инте-
гральный оператор в [L
2
(R
2
)]
N
вида (4.6), и каждый элемент его
матричного символа определяется равенством (4.5). Тогда сопря-
женный к A в [L
2
(R
2
)]
N
оператор A
∗
имеет матричный символ
Ψ
∗
, элементы которого определяются формулой
Ψ
∗
l,m
(x, α) =
Ψ
m,l
(x, α),
где черта сверху означает комплексное сопряжение. Для того, что-
бы оператор A был фредгольмов в [L
2
(R
2
)]
N
достаточно, чтобы
нижние грани модулей всех главных миноров были строго положи-
тельны:
inf
x∈R
2
, α∈Θ
|Ψ
1,1
(x, α)| > 0,
inf
x∈R
2
, α∈Θ
¯
¯
¯
¯
det
µ
Ψ
1,1
(x, α) Ψ
1,2
(x, α)
Ψ
2,1
(x, α) Ψ
2,2
(x, α)
¯
¯
¯
¯
> 0,
···
inf
x∈R
2
, α∈Θ
|det Ψ(x, α)| > 0.
(4.8)
§ 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального
уравнения
Сформулируем задачу о собственных волнах цилиндрического ди-
электрического волновода в плоско-слоистой среде. Схематическое
изображение такого волновода приведено на рис. 1.
Пусть все трехмерное пространство
{(x
1
, x
2
, x
3
) : −∞ < x
1
, x
2
, x
3
< ∞}
занято изотропной средой без источников, и пусть показатель пре-
ломления n = n(x
1
, x
2
) является положительной вещественной функ-
цией, не зависящей от продольной координаты x
3
. Пусть существует
§ 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального уравнения          91


оператора Al,m . Матрица
                                                                    
                  Ψ1,1 (x, α) Ψ1,2 (x, α)       · · · Ψ1,N (x, α)
                 Ψ (x, α) Ψ (x, α)             · · · Ψ2,N (x, α)    
                 2,1          2,2                                   
     Ψ(x, α) =         ..          ..           ...       ..           (4.7)
                        .           .                      .        
                  ΨN,1 (x, α) ΨN,2 (x, α)       · · · ΨN,N (x, α)
называется матричным символом или просто символом матричного
оператора A. Справедлива следующая теорема [44, стр. 368].
     Теорема 4.21. Пусть A — матричный сингулярный инте-
гральный оператор в [L2 (R2 )]N вида (4.6), и каждый элемент его
матричного символа определяется равенством (4.5). Тогда сопря-
женный к A в [L2 (R2 )]N оператор A∗ имеет матричный символ
Ψ∗ , элементы которого определяются формулой
                         Ψ∗l,m (x, α) = Ψm,l (x, α),
где черта сверху означает комплексное сопряжение. Для того, что-
бы оператор A был фредгольмов в [L2 (R2 )]N достаточно, чтобы
нижние грани модулей всех главных миноров были строго положи-
тельны:
                            inf |Ψ1,1 (x, α)| > 0,
                       ¯ x∈R2µ, α∈Θ                        ¶¯
                       ¯         Ψ 1,1 (x, α) Ψ 1,2 (x, α)  ¯
                inf    ¯det                                 ¯ > 0,
                2
             x∈R , α∈Θ ¯         Ψ2,1 (x, α) Ψ2,2 (x, α) ¯               (4.8)
                                        ···
                           inf       |det Ψ(x, α)| > 0.
                        x∈R2 , α∈Θ



§ 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального
                         уравнения

   Сформулируем задачу о собственных волнах цилиндрического ди-
электрического волновода в плоско-слоистой среде. Схематическое
изображение такого волновода приведено на рис. 1.
   Пусть все трехмерное пространство
                  {(x1 , x2 , x3 ) : −∞ < x1 , x2 , x3 < ∞}
занято изотропной средой без источников, и пусть показатель пре-
ломления n = n(x1 , x2 ) является положительной вещественной функ-
цией, не зависящей от продольной координаты x3 . Пусть существует

Страницы