Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Элементы теории сингулярных интегральных уравнений 89
Тогда сингулярный интеграл (4.1) существует и принадлежит про-
странству L
2
(R
2
).
Сформулируем теорему [44, стр. 242] о дифференцировании слабо
сингулярных интегралов следующего вида:
w(x) =
Z
Ω
u(y)
ψ(x, α)
r
dy. (4.3)
Теорема 4.19. Пусть u ∈ L
2
(Ω), функция ψ(x, α) имеет в
Ω
непрерывные первые производные по декартовым координатам то-
чек x и α. Тогда интеграл (4.3) имеет обобщенные производные
в L
2
(Ω):
∂
∂x
1
w(x) =
Z
Ω
u(y)
∂
∂x
1
·
ψ(x, α)
r
¸
dy − u(x)
Z
Θ
ψ(x, α) cos ϕdl
Θ
,
∂
∂x
2
w(x) =
Z
Ω
u(y)
∂
∂x
2
·
ψ(x, α)
r
¸
dy − u(x)
Z
Θ
ψ(x, α) sin ϕdl
Θ
,
где ϕ — угловая координата точки α в полярной системе координат
c центром в точке x.
Сингулярным интегральным оператором в гильбертовом про-
странстве L
2
(R
2
) будем называть линейный оператор A, который
определяется формулой
(Au)(x) = a(x)u(x) +
Z
R
2
u(y)
f(x, α)
r
2
dy + (Ku)(x), (4.4)
где K — вполне непрерывный оператор в L
2
(R
2
). При исследовании
фредгольмовости сингулярных интегральных операторов вида (4.4)
вводится понятие символа сингулярного оператора A. Символ опре-
деляется как функция Ψ
A
(x, α) точек x ∈ R
2
и α ∈ Θ. При этом
символ, при определенных ограничениях на a(x) и f(x, α), должен
удовлетворять следующим трем условиям:
1) символ любого вполне непрерывного оператора равен нулю;
2) символ суммы двух сингулярных операторов равен сумме их
символов;
3) символ произведения двух сингулярных операторов равен про-
изведению их символов.
§ 1. Элементы теории сингулярных интегральных уравнений               89


Тогда сингулярный интеграл (4.1) существует и принадлежит про-
странству L2 (R2 ).
   Сформулируем теорему [44, стр. 242] о дифференцировании слабо
сингулярных интегралов следующего вида:
                           Z
                                   ψ(x, α)
                    w(x) = u(y)            dy.              (4.3)
                                     r
                                Ω


   Теорема 4.19. Пусть u ∈ L2 (Ω), функция ψ(x, α) имеет в Ω
непрерывные первые производные по декартовым координатам то-
чек x и α. Тогда интеграл (4.3) имеет обобщенные производные
в L2 (Ω):
              Z         ·      ¸          Z
      ∂              ∂ ψ(x, α)
        w(x) = u(y)              dy − u(x) ψ(x, α) cos ϕdlΘ ,
    ∂x1             ∂x1     r
                 Ω                              Θ
                 Z            ·      ¸          Z
     ∂                     ∂ ψ(x, α)
        w(x) =       u(y)              dy − u(x) ψ(x, α) sin ϕdlΘ ,
    ∂x2                   ∂x2   r
                 Ω                               Θ
где ϕ — угловая координата точки α в полярной системе координат
c центром в точке x.
   Сингулярным интегральным оператором в гильбертовом про-
странстве L2 (R2 ) будем называть линейный оператор A, который
определяется формулой
                              Z
                                    f (x, α)
         (Au)(x) = a(x)u(x) + u(y)           dy + (Ku)(x), (4.4)
                                       r2
                                    R2

где K — вполне непрерывный оператор в L2 (R2 ). При исследовании
фредгольмовости сингулярных интегральных операторов вида (4.4)
вводится понятие символа сингулярного оператора A. Символ опре-
деляется как функция ΨA (x, α) точек x ∈ R2 и α ∈ Θ. При этом
символ, при определенных ограничениях на a(x) и f (x, α), должен
удовлетворять следующим трем условиям:
    1) символ любого вполне непрерывного оператора равен нулю;
    2) символ суммы двух сингулярных операторов равен сумме их
символов;
    3) символ произведения двух сингулярных операторов равен про-
изведению их символов.

Страницы