Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4
ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ВОЛНОВОДА В ПЛОСКО-СЛОИСТОЙ СРЕДЕ
§ 1. Элементы теории сингулярных интегральных
уравнений
Приведем некоторые сведения теории многомерных сингулярных
интегральных уравнений, следуя [44]. При этом для простоты изложе-
ния будем формулировать результаты [44] в частном случае интегра-
лов по области на плоскости R
2
. Обозначим x и y точки плоскости R
2
.
Пусть
r = |x − y|, α = (y − x)/r.
Точка α принадлежит единичной окружности с центром в точке x,
которую обозначим Θ. Пусть Ω — область на плоскости R
2
. Эта об-
ласть может быть конечной или бесконечной, в частности совпадать
с плоскостью R
2
. Будем рассматривать сингулярные интегралы вида
v(x) =
Z
Ω
u(y)
f(x, α)
r
2
dy = lim
ε→0
Z
Ω\(r<ε)
u(y)
f(x, α)
r
2
dy. (4.1)
Точка x называется полюсом сингулярного интеграла, функция u(y) —
плотностью, а функция f(x, α) — характеристикой. Во всем последу-
ющем изложении будем предполагать, что характеристика удовлетво-
ряет условию
Z
Θ
f(x, α)dl
Θ
= 0. (4.2)
Относительно существования интеграла (4.1) справедлива следу-
ющая теорема [44, стр. 274].
Теорема 4.18. Пусть u ∈ L
2
(R
2
), характеристика f(x, α) удо-
влетворяет условию (4.2), и для любой точки x выполняется нера-
венство
Z
Θ
|f(x, α)|
2
dl
Θ
6 C = const.
                              Глава 4
   ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ВОЛНОВОДА В ПЛОСКО-СЛОИСТОЙ СРЕДЕ

     § 1. Элементы теории сингулярных интегральных
                         уравнений

    Приведем некоторые сведения теории многомерных сингулярных
интегральных уравнений, следуя [44]. При этом для простоты изложе-
ния будем формулировать результаты [44] в частном случае интегра-
лов по области на плоскости R2 . Обозначим x и y точки плоскости R2 .
Пусть
                    r = |x − y|, α = (y − x)/r.
Точка α принадлежит единичной окружности с центром в точке x,
которую обозначим Θ. Пусть Ω — область на плоскости R2 . Эта об-
ласть может быть конечной или бесконечной, в частности совпадать
с плоскостью R2 . Будем рассматривать сингулярные интегралы вида
                Z                        Z
                       f (x, α)                 f (x, α)
         v(x) = u(y)            dy = lim   u(y)          dy. (4.1)
                          r2         ε→0           r2
                Ω                       Ω\(r<ε)

Точка x называется полюсом сингулярного интеграла, функция u(y) —
плотностью, а функция f (x, α) — характеристикой. Во всем последу-
ющем изложении будем предполагать, что характеристика удовлетво-
ряет условию            Z
                             f (x, α)dlΘ = 0.                   (4.2)
                         Θ
  Относительно существования интеграла (4.1) справедлива следу-
ющая теорема [44, стр. 274].
   Теорема 4.18. Пусть u ∈ L2 (R2 ), характеристика f (x, α) удо-
влетворяет условию (4.2), и для любой точки x выполняется нера-
венство          Z
                    |f (x, α)|2 dlΘ 6 C = const.
                    Θ

Страницы