Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 86 стр.

86                                                     Задачи и упражнения


Следовательно, векторы E и H удовлетворяют второму из уравне-
ний (3.9). Из (3.19), (3.20) с помощью теоремы сложения Графа (см.,
напр., [25], с. 201) легко получить, что векторы E и H удовлетворяют
парциальным условиям излучения (3.10). ¤
    Теорема 3.17. Регулярное множество определенной в (3.15)
оператор-функции A(β) не пусто, а именно, B ∪ D ⊂ ρ(A). Харак-
теристическое множество оператор-функции A(β) может состо-
ять лишь из изолированных точек, являющихся характеристиче-
скими значениями оператор-функции A(β). Каждое характеристи-
ческое значение β оператор-функции A(β) непрерывно зависит от
параметров (ω, n∞ ) ∈ R2+ . Кроме того, с изменением (ω, n∞ ) ∈ R2+
характеристические значения оператор-функции A(β) могут появ-
ляться и исчезать только на границе Λ, то есть в точках ±kn∞
и на бесконечности.
   Доказательство. Рассуждая аналогично [13], с. 71, нетруд-
но показать, что оператор-функция A(β) голоморфна по β ∈ Λ и
непрерывна как функция трех переменных β ∈ Λ, n∞ > 0 и ω > 0.
В силу фредгольмовости оператора A(β), теоремы 3.15 о локализа-
ции спектра задачи (3.9), (3.10) и теоремы 3.16 о спектральной экви-
валентности задач (3.9), (3.10) и (3.15) оператор A(β) обратим для
любых n∞ > 0, ω > 0 и β ∈ B ∪ D. Таким образом, справедливость
настоящей теоремы следует из теорем 2.1 и 2.2, с. 41 . ¤

                          Задачи и упражнения

     1. Проверьте справедливость формулы
     Z µ                                          ¶
           ∂u(y)                ∂Φ∞ (β; x, y)
                 Φ∞ (β; x, y) −               u(y) dl(y) = 0,   R ≥ R0 ,
            ∂|y|                   ∂|y|
     ΓR

где β ∈ Λ, u ∈ C2 (R2 ) и удовлетворяет условию (3.2), с. 71,
                             i (1)
               Φ∞ (β; x, y) = H0 (χ∞ (β) |x − y|) .
                             4
   2. Проверьте справедливость интегрального представления век-
тора Герца
                 Z
              1    ¡ 2         ¢
      Π(x) = 2      n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy, x ∈ R2 .
             n∞
                      Ω