Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке 85
Пусть вектор H определяется следующим равенством (то есть век-
торы E и H удовлетворяют первому из уравнений (3.9)):
H = (iωµ
0
)
−1
rot
β
0
E, x ∈ R
2
.
Из уравнения (3.19) и формулы (1.8), с. 8, имеем
H(x) = −iωε
0
rot
β
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy, x ∈ R
2
.
(3.20)
Отсюда следует, в частности, что если E∈[C
2
(R
2
)]
3
, то и H∈[C
2
(R
2
)]
3
.
Докажем, что векторы E и H удовлетворяют второму из уравнений
(3.9). Применим к обеим частям уравнения (3.20) операцию rot
β
и
полученное равенство почленно сложим с равенством (3.19), умно-
женным на iωε
0
n
2
∞
:
rot
β
H+iωε
0
n
2
∞
E = −iωε
0
rot
β
rot
β
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy+
+iωε
0
n
2
∞
k
2
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy−
−iωε
0
n
2
∞
grad
β
Z
Ω
Φ
∞
(β; x, y)div
β
E(y)dy, x ∈ R
2
.
Продолжим равенство, используя формулу (1.9), с. 8, и теорему о
дивергенции (3.13):
rot
β
H+iωε
0
n
2
∞
E =
= iωε
0
£
∆ + (k
2
n
2
∞
− β
2
)
¤
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy−
−iωε
0
grad
β
Z
Ω
div
β
£¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
E(y)
¤
Φ
∞
(β; x, y)dy−
−iωε
0
n
2
∞
grad
β
Z
Ω
Φ
∞
(β; x, y)div
β
E(y)dy, x ∈ R
2
.
Из этого равенства, уравнения (3.18) и формулы Пуассона (3.16) окон-
чательно получим
rot
β
H+iωε
0
n
2
∞
E = −iωε
0
¡
n
2
− n
2
∞
¢
E, x ∈ R
2
.
§ 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке                      85


   Пусть вектор H определяется следующим равенством (то есть век-
торы E и H удовлетворяют первому из уравнений (3.9)):

                      H = (iωµ0 )−1 rotβ0 E,          x ∈ R2 .

Из уравнения (3.19) и формулы (1.8), с. 8, имеем
                     Z
                       ¡ 2         ¢
   H(x) = −iωε0 rotβ    n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy,                 x ∈ R2 .
                          Ω
                                                                  (3.20)
Отсюда следует, в частности, что если E ∈ [C (R )] , то и H ∈ [C (R2 )]3 .
                                                        2   2 3              2

Докажем, что векторы E и H удовлетворяют второму из уравнений
(3.9). Применим к обеим частям уравнения (3.20) операцию rotβ и
полученное равенство почленно сложим с равенством (3.19), умно-
женным на iωε0 n2∞ :
                                   Z
             2
                                     ¡ 2         ¢
rotβ H+iωε0 n∞ E = −iωε0 rotβ rotβ    n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy+
                                              Ω
                            Z
                                ¡               ¢
            +iωε0 n2∞ k 2           n2 (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy−
                            Ω
                                Z
          −iωε0 n2∞ gradβ           Φ∞ (β; x, y)divβ E(y)dy,      x ∈ R2 .
                                Ω
Продолжим равенство, используя формулу (1.9), с. 8, и теорему о
дивергенции (3.13):
                         rotβ H+iωε0 n2∞ E =
                                 Z
          £                    ¤   ¡ 2         ¢
   = iωε0 ∆ + (k 2 n2∞ − β 2 )      n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy−
                                          Ω
                      Z
                                    £¡               ¢    ¤
        −iωε0 gradβ       divβ           n2 (y) − n2∞ E(y) Φ∞ (β; x, y)dy−
                      Ω
                                Z
          −iωε0 n2∞ gradβ           Φ∞ (β; x, y)divβ E(y)dy,      x ∈ R2 .
                                Ω
Из этого равенства, уравнения (3.18) и формулы Пуассона (3.16) окон-
чательно получим
                                    ¡        ¢
           rotβ H+iωε0 n2∞ E = −iωε0 n2 − n2∞ E, x ∈ R2 .

Страницы