Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

84 Глава 3. Волноводы с размытой границей
Добавим и вычтем к правой части этого равенства слагаемое
k
2
n
2
∞
Z
Ω
µ
E ·
gradn
2
n
2
(y)Φ
∞
(β; x, y)dy
и используем формулу Пуассона для потенциала площади
£
∆ + (k
2
n
2
∞
− β
2
)
¤
Z
Ω
µ
E ·
gradn
2
n
2
(y)Φ
∞
(β; x, y)dy =
= −
µ
E ·
gradn
2
n
2
(x), x ∈ R
2
. (3.16)
Получим равенство
div
β
E(x) = k
2
Z
Ω
div
β
£¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
E(y)
¤
Φ
∞
(β; x, y)dy−
(3.17)
−k
2
n
2
∞
Z
Ω
µ
E ·
gradn
2
n
2
(y)Φ
∞
(β; x, y)dy −
µ
E ·
gradn
2
n
2
(x), x ∈ R
2
.
Далее, в силу линейности операции div
β
и формулы (1.7), с. 8, имеем
div
β
£¡
n
2
− n
2
∞
¢
E
¤
= div
β
¡
n
2
E
¢
− n
2
∞
div
β
E,
E ·
gradn
2
n
2
= n
−2
div
β
¡
n
2
E
¢
− div
β
E.
Используя два предыдущих равенства и равенство (3.17), нетрудно
видеть, что функция u = n
−2
div
β
¡
n
2
E
¢
удовлетворяет уравнению
u =
Z
Ω
k
2
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)u(y)dy, x ∈ R
2
,
которое совпадает с уравнением (3.5). В пункте 2 было показано, что
если β не является собственным значением задачи (3.1), (3.2), то u = 0
в R
2
. Итак, мы получили, что для вектора E справедлива формула
div
β
¡
n
2
E
¢
= 0, x ∈ R
2
, (3.18)
и уравнение (3.11) может быть переписано в виде
E(x) = k
2
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy−
−grad
β
Z
Ω
Φ
∞
(β; x, y)div
β
E(y)dy, x ∈ R
2
. (3.19)
84                                    Глава 3. Волноводы с размытой границей


Добавим и вычтем к правой части этого равенства слагаемое
                  Z µ            ¶
              2 2         gradn2
             k n∞     E·           (y)Φ∞ (β; x, y)dy
                            n2
                       Ω

и используем формулу Пуассона для потенциала площади
                                Z µ          2
                                               ¶
       £                      ¤        gradn
         ∆ + (k 2 n2∞ − β 2 )       E·           (y)Φ∞ (β; x, y)dy =
                                         n2
                         µ Ω            ¶
                                 gradn2
                     =− E·           2
                                          (x), x ∈ R2 .              (3.16)
                                   n
Получим равенство
                  Z
                       £¡           ¢    ¤
   divβ E(x) = k 2 divβ n2 (y) − n2∞ E(y) Φ∞ (β; x, y)dy−             (3.17)
                   Ω
      Z µ          ¶                    µ           ¶
  2 2       gradn2                           gradn2
−k n∞    E·     2
                     (y)Φ∞ (β; x, y)dy − E ·     2
                                                      (x), x ∈ R2 .
              n                                n
        Ω
Далее, в силу линейности операции div β и формулы (1.7), с. 8, имеем
                £¡        ¢ ¤        ¡    ¢
            divβ n2 − n2∞ E = divβ n2 E − n2∞ divβ E,
                   gradn2      −2
                                        ¡ 2 ¢
               E·         =  n    div β  n E − divβ E.
                     n2
Используя два предыдущих равенства ¡ 2 ¢ и равенство (3.17), нетрудно
                          −2
видеть, что функция u = n divβ n E удовлетворяет уравнению
             Z
                 ¡            ¢
         u = k 2 n2 (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)u(y)dy, x ∈ R2 ,
              Ω

которое совпадает с уравнением (3.5). В пункте 2 было показано, что
если β не является собственным значением задачи (3.1), (3.2), то u = 0
в R2 . Итак, мы получили, что для вектора E справедлива формула
                           ¡   ¢
                      divβ n2 E = 0, x ∈ R2 ,                    (3.18)
и уравнение (3.11) может быть переписано в виде
                      Z
                        ¡ 2         ¢
           E(x) = k 2    n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy−
                       ZΩ
              −gradβ        Φ∞ (β; x, y)divβ E(y)dy,   x ∈ R2 .       (3.19)
                       Ω

Страницы