Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

82 Глава 3. Волноводы с размытой границей
Φ
∞
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
∞
(β) |x − y|) , x ∈ R
2
, y ∈ Ω.
Доказательство. Вектор Герца Π удовлетворяет неоднород-
ному уравнению Гельмгольца (1.27), с. 12. Будем рассуждать анало-
гично доказательству леммы 3.1 и запишем решение этого уравнения
в виде
Π(x) =
1
n
2
∞
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy, x ∈ R
2
.
Отсюда и из равенства (1.25), с. 11, для x ∈ R
2
получим
E(x) =
¡
k
2
n
2
∞
+ grad
β
div
β
¢
1
n
2
∞
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy.
Воспользуемся теперь теоремой о дивергенции [36]
div
β
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy =
=
Z
Ω
div
β
£¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
E(y)
¤
Φ
∞
(β; x, y)dy, x ∈ R
2
(3.13)
и формулой (1.29), с. 12. В итоге получим требуемое равенство. ¤
При фиксированном β ∈ Λ будем рассматривать оператор B(β),
определенный равенством (3.12), как оператор, действующий в про-
странстве комплекснозначных функций [L
2
(Ω)]
3
. Пусть
A(β) = I −B(β), (3.14)
где I — единичный оператор в [L
2
(Ω)]
3
. При всех β ∈ Λ ядро операто-
ра B(β) слабополярно, следовательно, оператор A(β) фредгольмов.
Определение 3.12. Ненулевой вектор F ∈ [L
2
(Ω)]
3
будем на-
зывать собственным вектором оператор-функции A(β), отвечающим
характеристическому значению β ∈ Λ, если выполнено уравнение
A(β)F = 0. (3.15)
Характеристическим множеством оператор-функции A(β) будем на-
зывать множество чисел β ∈ Λ, для которых оператор A(β) не име-
ет ограниченного обратного в [L
2
(Ω)]
3
. Это множество будем обозна-
чать символом σ(A). Обозначим множество регулярных точек опера-
тора A(β) через ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β)
−1
: [L
2
(Ω)]
3
→ [L
2
(Ω)]
3
}.
82                                       Глава 3. Волноводы с размытой границей


                       i (1)
        Φ∞ (β; x, y) = H0 (χ∞ (β) |x − y|) , x ∈ R2 , y ∈ Ω.
                       4
    Доказательство. Вектор Герца Π удовлетворяет неоднород-
ному уравнению Гельмгольца (1.27), с. 12. Будем рассуждать анало-
гично доказательству леммы 3.1 и запишем решение этого уравнения
в виде
                   Z
                1     ¡ 2         ¢
       Π(x) = 2        n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy, x ∈ R2 .
               n∞
                       Ω

Отсюда и из равенства (1.25), с. 11, для x ∈ R2 получим
                                 Z
        ¡ 2 2             ¢ 1       ¡ 2         ¢
 E(x) = k n∞ + gradβ divβ 2          n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy.
                            n∞
                                         Ω

Воспользуемся теперь теоремой о дивергенции [36]
                  Z
                    ¡ 2         ¢
             divβ    n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy =
                        Ω
            Z
                       £¡               ¢    ¤
        =       divβ        n2 (y) − n2∞ E(y) Φ∞ (β; x, y)dy,   x ∈ R2   (3.13)
            Ω

и формулой (1.29), с. 12. В итоге получим требуемое равенство. ¤
   При фиксированном β ∈ Λ будем рассматривать оператор B(β),
определенный равенством (3.12), как оператор, действующий в про-
странстве комплекснозначных функций [L2 (Ω)]3 . Пусть
                                  A(β) = I − B(β),                       (3.14)
где I — единичный оператор в [L2 (Ω)]3 . При всех β ∈ Λ ядро операто-
ра B(β) слабополярно, следовательно, оператор A(β) фредгольмов.
   Определение 3.12. Ненулевой вектор F ∈ [L2 (Ω)]3 будем на-
зывать собственным вектором оператор-функции A(β), отвечающим
характеристическому значению β ∈ Λ, если выполнено уравнение
                                     A(β)F = 0.                          (3.15)
Характеристическим множеством оператор-функции A(β) будем на-
зывать множество чисел β ∈ Λ, для которых оператор A(β) не име-
ет ограниченного обратного в [L2 (Ω)]3 . Это множество будем обозна-
чать символом σ(A). Обозначим множество регулярных точек опера-
тора A(β) через ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β)−1 : [L2 (Ω)]3 → [L2 (Ω)]3 }.

Страницы