Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

80 Глава 3. Волноводы с размытой границей
В итоге получили неравенство
¡
β
2
− k
2
n
2
+
¢
Z
R
2
|H|
2
dx +
Z
R
2
|∇H|
2
dx 6 0.
Из этого неравенства следует, что значениям β ∈ B отвечает толь-
ко нулевое решение задачи (3.9), (3.10). Действительно, если β ∈ B
и |β| > kn
+
, то H = 0 в R
2
. Следовательно, и
E = −1/(iωε
0
n
2
)rot
β
H = 0
в R
2
. Если же β ∈ B и |β| = kn
+
, то функция H принимает посто-
янное значение в R
2
. Но из условия излучения (3.10) и асимптотики
(1.63), с. 24, для любого β ∈ B следует, что H обращается в нуль
на бесконечности. Значит, H = 0 в R
2
и E = 0 в R
2
при β ∈ B,
что противоречит предположению о том, что вектор {E, H} является
собственным вектором задачи (3.9), (3.10), отвечающим собственному
значению β ∈ B. Следовательно область B свободна от собственных
значений задачи (3.9), (3.10).
Пусть {E, H} — собственный вектор задачи (3.9), (3.10), отвеча-
ющий собственному значению β ∈ D. Тогда имеет место равенство
(1.11), с. 9. Умножим его скалярно на
E и проинтегрируем по Ω
R
,
где R ≥ R
0
. Для всех x : |x| ≥ R
0
справедливо разложение (3.10).
Используем формулу (1.9), формулу интегрирования по частям, ра-
венство (1.13) и получим
k
2
Z
Ω
R
n
2
|E|
2
dx =
Z
Ω
R
(rot
β
(rot
β
E)) ·
Edx =
=
Z
Ω
R
¡
−∆E + β
2
E + grad
β
(div
β
E)
¢
·
Edx =
= −
Z
Ω
R
|div
β
E|
2
dx +
Z
Ω
R
|∇E|
2
dx −
Z
Γ
R
∂E
∂ |x|
·
Edx + β
2
Z
Ω
R
|E|
2
dx.
Возьмем от левой и правой части полученного равенства мнимую
часть:
Im
Z
Γ
R
∂E
∂ |x|
·
Edx = 0, R > R
0
.
80                                               Глава 3. Волноводы с размытой границей


В итоге получили неравенство
                          Z         Z
             ¡ 2        ¢
                    2 2
              β − k n+      |H| dx + |∇H|2 dx 6 0.
                               2

                                       R2             R2

Из этого неравенства следует, что значениям β ∈ B отвечает толь-
ко нулевое решение задачи (3.9), (3.10). Действительно, если β ∈ B
и |β| > kn+ , то H = 0 в R2 . Следовательно, и

                             E = −1/(iωε0 n2 )rotβ H = 0

в R2 . Если же β ∈ B и |β| = kn+ , то функция H принимает посто-
янное значение в R2 . Но из условия излучения (3.10) и асимптотики
(1.63), с. 24, для любого β ∈ B следует, что H обращается в нуль
на бесконечности. Значит, H = 0 в R2 и E = 0 в R2 при β ∈ B,
что противоречит предположению о том, что вектор {E, H} является
собственным вектором задачи (3.9), (3.10), отвечающим собственному
значению β ∈ B. Следовательно область B свободна от собственных
значений задачи (3.9), (3.10).
    Пусть {E, H} — собственный вектор задачи (3.9), (3.10), отвеча-
ющий собственному значению β ∈ D. Тогда имеет место равенство
(1.11), с. 9. Умножим его скалярно на E и проинтегрируем по ΩR ,
где R ≥ R0 . Для всех x : |x| ≥ R0 справедливо разложение (3.10).
Используем формулу (1.9), формулу интегрирования по частям, ра-
венство (1.13) и получим
                   Z           Z
                          2
                k 2 n2 |E| dx = (rotβ (rotβ E)) · Edx =
                    ZΩR                     ΩR
                       ¡                               ¢
                =          −∆E + β 2 E + gradβ (divβ E) · Edx =
                    ΩR
          Z                       Z                  Z                         Z
                                                            ∂E
     =−       |divβ E|2 dx +           |∇E|2 dx −                · Edx + β 2        |E|2 dx.
                                                           ∂ |x|
       ΩR                         ΩR                 ΓR                        ΩR

Возьмем от левой и правой части полученного равенства мнимую
часть:             Z
                      ∂E
                Im         · Edx = 0, R > R0 .
                     ∂ |x|
                             ΓR

Страницы