Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

78 Глава 3. Волноводы с размытой границей
§ 2. Векторная задача в полной электродинамической
постановке
1. Постановка задачи и локализация собственных значе-
ний. Сформулируем задачу о собственных волнах цилиндрическо-
го диэлектрического волновода с размытой границей и произвольным
переменным показателем преломления. Обозначим через C
2
(R
2
) про-
странство комплекснозначных дважды непрерывно дифференциру-
емых в R
2
функций. Пусть Ω — ограниченная область на плоскос-
ти R
2
. Относительно показателя преломления волновода n предполо-
жим следующее: n — вещественная функция из C
2
(R
2
) не зависящая
от x
3
;
n = n
∞
= const, x /∈ Ω;
n
+
= max
x∈Ω
n(x) > n
∞
> 0.
Будем считать, что постоянная распространения β — неизвестный
комплексный параметр, ω > 0 — заданная частота электромагнитных
колебаний. Задача сводится (см. параграф 1 главы 1) к отысканию та-
ких значений параметра β, при которых существуют нетривиальные
решения E, H системы уравнений
rot
β
E =iωµ
0
H, rot
β
H = − iωε
0
n
2
E, x ∈ R
2
, (3.9)
где ε
0
— диэлектрическая проницаемость свободного пространства,
через µ
0
обозначена магнитная проницаемость свободного простран-
ства, векторная операция rot
β
определена равенством (1.4), с. 7. Бу-
дем разыскивать нетривиальные решения {E, H} системы (3.9) в про-
странстве [C
2
(R
2
)]
6
.
Следуя результатам главы 1, будем предполагать, что функции E
и H удовлетворяют парциальным условиям излучения, то есть суще-
ствует такая константа R
0
, что для всех x : |x| ≥ R
0
эти функции
разлагаются в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды
·
E
H
¸
=
∞
X
l=−∞
·
A
l
B
l
¸
H
(1)
l
(χ
∞
r) exp (ilϕ) .
(3.10)
Здесь χ
∞
=
p
k
2
n
2
∞
− β
2
, k
2
= ω
2
ε
0
µ
0
. При этом будем предполагать,
что постоянные распространения β принадлежат римановой поверх-
ности Λ функции ln χ
∞
(β). Строение поверхности Λ подробно рас-
смотрено в главе 1. Обозначим множества
G =
n
β ∈ Λ
(1)
0
: Imβ = 0, kn
∞
< |β| < kn
+
o
,
78                                  Глава 3. Волноводы с размытой границей


     § 2. Векторная задача в полной электродинамической
                            постановке

    1. Постановка задачи и локализация собственных значе-
ний. Сформулируем задачу о собственных волнах цилиндрическо-
го диэлектрического волновода с размытой границей и произвольным
переменным показателем преломления. Обозначим через C 2 (R2 ) про-
странство комплекснозначных дважды непрерывно дифференциру-
емых в R2 функций. Пусть Ω — ограниченная область на плоскос-
ти R2 . Относительно показателя преломления волновода n предполо-
жим следующее: n — вещественная функция из C2 (R2 ) не зависящая
от x3 ;
                      n = n∞ = const, x ∈/ Ω;
                      n+ = max n(x) > n∞ > 0.
                              x∈Ω
Будем считать, что постоянная распространения β — неизвестный
комплексный параметр, ω > 0 — заданная частота электромагнитных
колебаний. Задача сводится (см. параграф 1 главы 1) к отысканию та-
ких значений параметра β, при которых существуют нетривиальные
решения E, H системы уравнений
            rotβ E =iωµ0 H,   rotβ H = − iωε0 n2 E,   x ∈ R2 ,       (3.9)
где ε0 — диэлектрическая проницаемость свободного пространства,
через µ0 обозначена магнитная проницаемость свободного простран-
ства, векторная операция rotβ определена равенством (1.4), с. 7. Бу-
дем разыскивать нетривиальные решения {E, H} системы (3.9) в про-
странстве [C2 (R2 )]6 .
    Следуя результатам главы 1, будем предполагать, что функции E
и H удовлетворяют парциальным условиям излучения, то есть суще-
ствует такая константа R0 , что для всех x : |x| ≥ R0 эти функции
разлагаются в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды
               · ¸         X ∞ ·    ¸
                 E               Al      (1)
                        =             Hl (χ∞ r) exp (ilϕ) .        (3.10)
                 H               Bl
                          l=−∞
            p
Здесь χ∞ = k 2 n2∞ − β 2 , k 2 = ω 2 ε0 µ0 . При этом будем предполагать,
что постоянные распространения β принадлежат римановой поверх-
ности Λ функции ln χ∞ (β). Строение поверхности Λ подробно рас-
смотрено в главе 1. Обозначим множества
                  n                                        o
                            (1)
            G = β ∈ Λ0 : Imβ = 0, kn∞ < |β| < kn+ ,

Страницы