Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 76 стр.

76                              Глава 3. Волноводы с размытой границей


ять лишь из изолированных точек, являющихся характеристиче-
скими значениями оператор-функции A(β). Каждое характеристи-
ческое значение β оператор-функции A(β) непрерывно зависит от
параметров (ω, n∞ ) ∈ R2+ . Кроме того, с изменением (ω, n∞ ) ∈ R2+
характеристические значения оператор-функции A(β) могут появ-
ляться и исчезать только на границе поверхности Λ, то есть в
точках ±kn∞ и на бесконечности.
    Доказательство. Рассуждая аналогично [13], с. 71, нетрудно
показать, что оператор-функция A(β) голоморфна по β ∈ Λ и непре-
рывна как функция трех переменных β ∈ Λ, ω > 0 и n∞ > 0. В
силу фредгольмовости оператора A(β), теоремы 3.11 о локализации
собственных значений задачи (3.1), (3.2) и теоремы 3.12 о спектраль-
ной эквивалентности задач (3.1), (3.2) и (3.7) оператор A(β) обратим
                            (1)
для любых ω, n∞ > 0 и β ∈ Λ0 \ G. Таким образом, справедливость
теоремы вытекает из теорем 2.1 и 2.2. ¤
   4. Существование собственных значений. Ответ на во-
прос, существуют ли собственные значения задачи (3.1), (3.2), дает
следующая теорема.
   Теорема 3.14. Задача (3.1), (3.2) имеет по крайней мере од-
но простое положительное собственное значение β, принадлежа-
щее множеству G, которому отвечает положительная собствен-
ная функция.
   Доказательство. Пусть оператор K(β) при β ∈ G опреде-
ляется равенством (3.6) и рассматривается, как действующий в про-
странстве вещественных функций L2 (Ω). При фиксированных β ∈ G
введем в рассмотрение задачу
                           v = γK(β)v.
Решения этой задачи γ = γ(β) и v 6= 0 называются характеристи-
ческим значением и собственной функцией оператора K(β) соответ-
ственно. Заметим, что K(β) при любом β ∈ G является интегральным
оператором с симметричным слабополярным положительным ядром
(см., напр., [5], с. 327).
    Ясно, что, если при некотором β0 ∈ G функция v является соб-
ственной функцией оператора K(β), отвечающей характеристическо-
му значению γ = 1, то v является собственной функцией оператор-
функции A(β), отвечающей характеристическому значению β 0 .