Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 75
Характеристическим множеством оператор-функции A(β) будем на-
зывать множество чисел β ∈ Λ, для которых оператор A(β) не име-
ет ограниченного обратного в L
2
(Ω). Это множество будем обозна-
чать символом σ(A). Обозначим множество регулярных точек опера-
тора A(β) через ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β)
−1
: L
2
(Ω) → L
2
(Ω)}.
3. Дискретность характеристического множества и за-
висимость характеристических значений от параметров.
Сформулируем и докажем теорему о спектральной эквивалентности
задачи о собственных волнах слабонаправляющего волновода (3.1),
(3.2) и спектральной задачи (3.7) для оператор-функции A(β).
Теорема 3.12. Если u ∈ C
2
(R
2
) является собственной функци-
ей задачи (3.1), (3.2), отвечающей собственному значению β
0
∈ Λ,
то
v = p
1/2
u ∈ L
2
(Ω)
есть собственная функция оператор-функции A(β), отвечающая
характеристическому значению β
0
. Если v ∈ L
2
(Ω) является соб-
ственной функцией оператор-функции A(β), отвечающей характе-
ристическому значению β
0
∈ Λ, то
u = B(β
0
)
³
p
−1/2
v
´
∈ C
2
(R
2
)
есть собственная функция задачи (3.1), (3.2), отвечающая соб-
ственному значению β
0
.
Доказательство. Первое утверждение теоремы непосредственно
следует из леммы 3.1. Докажем второе утверждение. Пусть функ-
ция v ∈ L
2
(Ω) является собственной функцией оператор-функ-
ции A(β), отвечающей характеристическому значению β
0
∈ Λ. При
любом значении β ∈ Λ ядро Φ
∞
(β; x, y) слабополярно . Следователь-
но, функция u = B(β
0
)
¡
p
−1/2
v
¢
непрерывна в
Ω (см., напр., [5], с. 327).
В силу известных свойств потенциала площади (см., напр., [5], с. 463)
функция u дважды непрерывно дифференцируема в R
2
; число β
0
и
функция u удовлетворяют уравнению (3.1). С помощью теоремы сло-
жения Графа (см., напр., [25], с. 201) нетрудно убедиться, что число β
0
и функция u удовлетворяют условию (3.2). ¤
Теорема 3.13. Регулярное множество определенной в (3.7)
оператор-функции A(β) не пусто, а именно, Λ
(1)
0
\G ⊂ ρ(A). Харак-
теристическое множество оператор-функции A(β) может состо-
§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода      75


Характеристическим множеством оператор-функции A(β) будем на-
зывать множество чисел β ∈ Λ, для которых оператор A(β) не име-
ет ограниченного обратного в L2 (Ω). Это множество будем обозна-
чать символом σ(A). Обозначим множество регулярных точек опера-
тора A(β) через ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β)−1 : L2 (Ω) → L2 (Ω)}.
    3. Дискретность характеристического множества и за-
висимость характеристических значений от параметров.
Сформулируем и докажем теорему о спектральной эквивалентности
задачи о собственных волнах слабонаправляющего волновода (3.1),
(3.2) и спектральной задачи (3.7) для оператор-функции A(β).
    Теорема 3.12. Если u ∈ C2 (R2 ) является собственной функци-
ей задачи (3.1), (3.2), отвечающей собственному значению β 0 ∈ Λ,
то
                          v = p1/2 u ∈ L2 (Ω)
есть собственная функция оператор-функции A(β), отвечающая
характеристическому значению β0 . Если v ∈ L2 (Ω) является соб-
ственной функцией оператор-функции A(β), отвечающей характе-
ристическому значению β0 ∈ Λ, то
                            ³        ´
                               −1/2
                  u = B(β0 ) p      v ∈ C2 (R2 )

есть собственная функция задачи (3.1), (3.2), отвечающая соб-
ственному значению β0 .
    Доказательство. Первое утверждение теоремы непосредственно
следует из леммы 3.1. Докажем второе утверждение. Пусть функ-
ция v ∈ L2 (Ω) является собственной функцией оператор-функ-
ции A(β), отвечающей характеристическому значению β0 ∈ Λ. При
любом значении β ∈ Λ ¡ядро Φ¢∞ (β; x, y) слабополярно . Следователь-
но, функция u = B(β0 ) p−1/2 v непрерывна в Ω (см., напр., [5], с. 327).
В силу известных свойств потенциала площади (см., напр., [5], с. 463)
функция u дважды непрерывно дифференцируема в R2 ; число β0 и
функция u удовлетворяют уравнению (3.1). С помощью теоремы сло-
жения Графа (см., напр., [25], с. 201) нетрудно убедиться, что число β0
и функция u удовлетворяют условию (3.2). ¤
    Теорема 3.13. Регулярное множество определенной в (3.7)
                                           (1)
оператор-функции A(β) не пусто, а именно, Λ0 \ G ⊂ ρ(A). Харак-
теристическое множество оператор-функции A(β) может состо-

Страницы