Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

74 Глава 3. Волноводы с размытой границей
p(y) = k
2
n
2
(y) − k
2
n
2
∞
,
Φ
∞
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
∞
(β) |x − y|) , x ∈ R
2
, y ∈ Ω.
Доказательство. Запишем уравнение (3.1) в виде
£
∆ +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
u = −pu.
Далее рассуждения проводятся на основе стандартного метода (см.,
напр., [10]) построения интегрального представления решения неод-
нородного уравнения Гельмгольца с помощью формулы Грина. При-
менить этот метод для всех β ∈ Λ можно в силу известного равенства
(см. [13], с. 35; [47]; [4])
Z
Γ
R
µ
∂u(y)
∂|y|
Φ
∞
(β; x, y) −
∂Φ
∞
(β; x, y)
∂|y|
u(y)
dl(y) = 0, R ≥ R
0
,
справедливого для любого β ∈ Λ и произвольной u ∈ C
2
(R
2
), удовле-
творяющей условию (3.2). Отметим также, что фундаментальное ре-
шение уравнения Гельмгольца Φ
∞
(β; x, y) удовлетворяет парциаль-
ным условиям излучения (3.2) при любом β ∈ Λ. В этом легко убе-
диться с помощью теоремы сложения Графа [25], с. 201. ¤
При фиксированном β ∈ Λ положим
(K(β)v) (x) =
Z
Ω
Φ
∞
(β; x, y)p
1/2
(x)p
1/2
(y)v(y)dy.
(3.6)
Будем рассматривать оператор K(β) как оператор, действующий в
пространстве комплекснозначных функций L
2
(Ω). Пусть
A(β) = I −K(β),
где I — единичный оператор в L
2
(Ω). При всех β ∈ Λ ядро интеграль-
ного оператора K(β) слабополярно, следовательно, оператор A(β)
фредгольмов.
Определение 3.10. Ненулевую функцию v ∈ L
2
(Ω) будем на-
зывать собственной функцией оператор-функции A(β), отвечающей
характеристическому значению β ∈ Λ, если выполнено уравнение
A(β)v = 0. (3.7)
74                                Глава 3. Волноводы с размытой границей


                         p(y) = k 2 n2 (y) − k 2 n2∞ ,
                        i (1)
          Φ∞ (β; x, y) = H0 (χ∞ (β) |x − y|) , x ∈ R2 , y ∈ Ω.
                        4
     Доказательство. Запишем уравнение (3.1) в виде
                 £    ¡             ¢¤
                   ∆ + k 2 n2∞ − β 2 u = −pu.

Далее рассуждения проводятся на основе стандартного метода (см.,
напр., [10]) построения интегрального представления решения неод-
нородного уравнения Гельмгольца с помощью формулы Грина. При-
менить этот метод для всех β ∈ Λ можно в силу известного равенства
(см. [13], с. 35; [47]; [4])
   Z µ                                           ¶
         ∂u(y)                 ∂Φ∞ (β; x, y)
                Φ∞ (β; x, y) −               u(y) dl(y) = 0, R ≥ R0 ,
          ∂|y|                    ∂|y|
     ΓR

справедливого для любого β ∈ Λ и произвольной u ∈ C2 (R2 ), удовле-
творяющей условию (3.2). Отметим также, что фундаментальное ре-
шение уравнения Гельмгольца Φ∞ (β; x, y) удовлетворяет парциаль-
ным условиям излучения (3.2) при любом β ∈ Λ. В этом легко убе-
диться с помощью теоремы сложения Графа [25], с. 201. ¤
   При фиксированном β ∈ Λ положим
                       Z
          (K(β)v) (x) = Φ∞ (β; x, y)p1/2 (x)p1/2 (y)v(y)dy.    (3.6)
                          Ω

Будем рассматривать оператор K(β) как оператор, действующий в
пространстве комплекснозначных функций L2 (Ω). Пусть

                           A(β) = I − K(β),

где I — единичный оператор в L2 (Ω). При всех β ∈ Λ ядро интеграль-
ного оператора K(β) слабополярно, следовательно, оператор A(β)
фредгольмов.
   Определение 3.10. Ненулевую функцию v ∈ L2 (Ω) будем на-
зывать собственной функцией оператор-функции A(β), отвечающей
характеристическому значению β ∈ Λ, если выполнено уравнение

                              A(β)v = 0.                           (3.7)

Страницы