Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 73
Для этого надо применить в Ω
R
формулу Грина
Z
Ω
R
∇u · ∇
udx+
Z
Ω
R
u∆udx =
Z
Γ
R
u
∂u
∂r
dl
и устремить R к бесконечности. При этом следует учесть, что соглас-
но асимптотике (1.63), с. 24, все подынтегральные выражения в этой
формуле экспоненциально убывают на бесконечности при любом
β ∈ Λ
(1)
0
\ D.
При вещественных β, лежащих в интервале B, равенству (3.4) удо-
влетворяет лишь нулевая функция u. Действительно, если β ∈ B
и |β| > kn
+
, то из этого равенства сразу вытекает, что u = 0 на всей
плоскости. Если β ∈ B и |β| = kn
+
, то из него следует, что ∇u = 0
в R
2
, то есть u всюду принимает постоянное значение. Но из асимп-
тотики (1.63), с. 24, вытекает, что на бесконечности u обращается в
нуль. Значит u равняется нулю всюду. Возьмем от левой и правой
частей равенства (3.4) мнимую часть, получим
Imβ
2
Z
R
2
|u|
2
dx = 0.
Следовательно, собственные значения β задачи (3.1), (3.2) на Λ
(1)
0
не
могут иметь одновременно мнимую и вещественную части отличными
от нуля, то есть принадлежать множеству Λ
(1)
0
\ (B ∪ D ∪ G). ¤
2. Нелинейная спектральная задача для интегрального
уравнения по области поперечного сечения волновода. Све-
дем задачу (3.1), (3.2) к спектральной задаче для интегральной фред-
гольмовой голоморфной по β ∈ Λ и непрерывной по
(β; ω, n
∞
) ∈ Λ × R
2
+
оператор-функции с целью изучения качественных свойств спектра.
Лемма 3.1. Пусть u — собственная функция задачи (3.1),
(3.2), отвечающая собственному значению β ∈ Λ. Тогда
u(x) = (B(β)u) (x), x ∈ R
2
, (3.5)
(B(β)u) (x) =
Z
Ω
Φ
∞
(β; x, y) p(y)u(y)dy,
§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода         73


Для этого надо применить в ΩR формулу Грина
               Z             Z         Z
                                           ∂u
                 ∇u · ∇udx+ u∆udx = u dl
                                           ∂r
                ΩR                ΩR         ΓR

и устремить R к бесконечности. При этом следует учесть, что соглас-
но асимптотике (1.63), с. 24, все подынтегральные выражения в этой
формуле экспоненциально убывают на бесконечности при любом
                                       (1)
                             β ∈ Λ0 \ D.
При вещественных β, лежащих в интервале B, равенству (3.4) удо-
влетворяет лишь нулевая функция u. Действительно, если β ∈ B
и |β| > kn+ , то из этого равенства сразу вытекает, что u = 0 на всей
плоскости. Если β ∈ B и |β| = kn+ , то из него следует, что ∇u = 0
в R2 , то есть u всюду принимает постоянное значение. Но из асимп-
тотики (1.63), с. 24, вытекает, что на бесконечности u обращается в
нуль. Значит u равняется нулю всюду. Возьмем от левой и правой
частей равенства (3.4) мнимую часть, получим
                                Z
                           Imβ 2 |u|2 dx = 0.
                                  R2

                                                                   (1)
Следовательно, собственные значения β задачи (3.1), (3.2) на Λ0 не
могут иметь одновременно мнимую и вещественную части отличными
                                         (1)
от нуля, то есть принадлежать множеству Λ0 \ (B ∪ D ∪ G). ¤
   2. Нелинейная спектральная задача для интегрального
уравнения по области поперечного сечения волновода. Све-
дем задачу (3.1), (3.2) к спектральной задаче для интегральной фред-
гольмовой голоморфной по β ∈ Λ и непрерывной по
                         (β; ω, n∞ ) ∈ Λ × R2+
оператор-функции с целью изучения качественных свойств спектра.
    Лемма 3.1. Пусть u — собственная функция задачи (3.1),
(3.2), отвечающая собственному значению β ∈ Λ. Тогда
                   u(x) = (B(β)u) (x), x ∈ R2 ,                    (3.5)
                            Z
               (B(β)u) (x) = Φ∞ (β; x, y) p(y)u(y)dy,
                              Ω

Страницы