Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 71
справедливы [17] для более общего случая: n ∈ C
1
(Ω), граница Γ об-
ласти Ω — липшицева кривая, на Γ функция u ∈ U удовлетворяет
условиям сопряжения (2.4), с. 42. Однако, в целях единства изложе-
ния материала, ограничимся предположением, что n ∈ C
2
(R
2
) и в
настоящем параграфе.
Будем разыскивать нетривиальные решения u(x) задачи (3.1),
(3.2) в пространстве C
2
(R
2
). Будем предполагать, что функция u
удовлетворяет на бесконечности парциальным условиям излучения
(1.85), с. 32, то есть при достаточно большом R
0
для всех |x| ≥ R
0
представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда
u(r, ϕ) =
∞
X
l=−∞
a
l
H
(1)
l
(χ
∞
r) exp(ilϕ), (3.2)
где x
1
= r cos(ϕ), x
2
= r sin(ϕ), H
(1)
l
— функции Ханкеля первого
рода порядка l,
χ
∞
(β) =
p
kn
2
∞
− β
2
.
Будем предполагать, что постоянные распространения β принад-
лежат римановой поверхности Λ функции ln χ
∞
(β). Строение поверх-
ности Λ подробно рассмотрено в главе 1.
Пусть G =
n
β ∈ Λ
(1)
0
: Imβ = 0, kn
∞
< |β| < kn
+
o
— объединение
двух интервалов на вещественной оси главного листа Λ
(1)
0
римановой
поверхности Λ; B =
n
β ∈ Λ
(1)
0
: Imβ = 0, |β| > kn
+
o
— бесконечный
интервал на вещественной оси листа Λ
(1)
0
;
D =
n
β ∈ Λ
(1)
0
: Reβ = 0
o
∪
n
β ∈ Λ
(1)
0
: Imβ = 0, |β| < kn
∞
o
— разрез, вдоль которого соединены листы Λ
(1)
0
и Λ
(2)
0
.
Определение 3.9. Ненулевую функцию u ∈ C
2
(R
2
) будем назы-
вать собственной функцией задачи (3.1), (3.2), отвечающей собствен-
ному значению β ∈ Λ, если выполнены условия (3.1), (3.2).
Теорема 3.11. На Λ
(1)
0
собственные значения задачи (3.1), (3.2)
могут принадлежать лишь множеству G.
Доказательство. Пусть u — собственная функция задачи
(3.1), (3.2), отвечающая собственному значению β ∈ D. Применим
§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода         71


справедливы [17] для более общего случая: n ∈ C1 (Ω), граница Γ об-
ласти Ω — липшицева кривая, на Γ функция u ∈ U удовлетворяет
условиям сопряжения (2.4), с. 42. Однако, в целях единства изложе-
ния материала, ограничимся предположением, что n ∈ C2 (R2 ) и в
настоящем параграфе.
    Будем разыскивать нетривиальные решения u(x) задачи (3.1),
(3.2) в пространстве C2 (R2 ). Будем предполагать, что функция u
удовлетворяет на бесконечности парциальным условиям излучения
(1.85), с. 32, то есть при достаточно большом R0 для всех |x| ≥ R0
представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда
                             ∞
                             X         (1)
                 u(r, ϕ) =          al Hl (χ∞ r) exp(ilϕ),             (3.2)
                             l=−∞

                                         (1)
где x1 = r cos(ϕ), x2 = r sin(ϕ), Hl — функции Ханкеля первого
рода порядка l,                 p
                       χ∞ (β) = kn2∞ − β 2 .
   Будем предполагать, что постоянные распространения β принад-
лежат римановой поверхности Λ функции ln χ∞ (β). Строение поверх-
ности Λ подробно
              n рассмотрено в главе 1.           o
                    (1)
   Пусть G = β ∈ Λ0 : Imβ = 0, kn∞ < |β| < kn+ — объединение
                                                                 (1)
двух интервалов на вещественной
                    n           оси главного листа
                                                o Λ0 римановой
                           (1)
поверхности Λ; B = β ∈ Λ0 : Imβ = 0, |β| > kn+ — бесконечный
                                               (1)
интервал на вещественной оси листа Λ0 ;
        n                  o n                         o
               (1)                   (1)
    D = β ∈ Λ0 : Reβ = 0 ∪ β ∈ Λ0 : Imβ = 0, |β| < kn∞

                                                     (1)   (2)
— разрез, вдоль которого соединены листы Λ0 и Λ0 .
   Определение 3.9. Ненулевую функцию u ∈ C2 (R2 ) будем назы-
вать собственной функцией задачи (3.1), (3.2), отвечающей собствен-
ному значению β ∈ Λ, если выполнены условия (3.1), (3.2).
                          (1)
   Теорема 3.11. На Λ0 собственные значения задачи (3.1), (3.2)
могут принадлежать лишь множеству G.
    Доказательство. Пусть u — собственная функция задачи
(3.1), (3.2), отвечающая собственному значению β ∈ D. Применим

Страницы