Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3
ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ
ВОЛНОВОДОВ С РАЗМЫТОЙ ГРАНИЦЕЙ
§ 1. Скалярная задача в приближении
слабонаправляющего волновода
1. Постановка задачи и локализация собственных значе-
ний. Сформулируем задачу о собственных волнах цилиндрическо-
го диэлектрического волновода с размытой границей, имеющего пе-
ременный показатель преломления близкий к показателю преломле-
ния окружающей среды. Обозначим символом R
2
плоскость попереч-
ного сечения волновода {x
3
= const}. Обозначим через C
2
(R
2
) про-
странство комплекснозначных дважды непрерывно дифференциру-
емых в R
2
функций. Пусть Ω — ограниченная, не обязательно од-
носвязная область на плоскости R
2
. Относительно показателя пре-
ломления волновода n предположим следующее: n — вещественная
функция, не зависящая от x
3
;
n = n
∞
= const, x /∈ Ω;
n
+
= max
x∈Ω
n(x) > n
∞
> 0.
Будем считать, что постоянная распространения β — неизвестный
комплексный параметр, ω > 0 — заданная частота электромагнит-
ных колебаний. В скалярном приближении слабонаправляющего вол-
новода (см. параграф 5 главы 1) задача сводится к отысканию таких
значений параметра β, при которых существуют нетривиальные ре-
шения уравнения Гельмгольца
£
∆ +
¡
k
2
n
2
− β
2
¢¤
u = 0, x ∈ R
2
. (3.1)
Здесь k
2
= ω
2
ε
0
µ
0
, ε
0
— электрическая постоянная, µ
0
— магнитная
постоянная.
Всюду в этой главе будем предполагать, что волновод имеет раз-
мытую границу, а именно, что n ∈ C
2
(R
2
). Это предположение суще-
ственно используется в следующем параграфе при решении вектор-
ной задачи о собственных волнах. Результаты настоящего параграфа
                              Глава 3
    ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ
   ВОЛНОВОДОВ С РАЗМЫТОЙ ГРАНИЦЕЙ


            § 1. Скалярная задача в приближении
                  слабонаправляющего волновода

    1. Постановка задачи и локализация собственных значе-
ний. Сформулируем задачу о собственных волнах цилиндрическо-
го диэлектрического волновода с размытой границей, имеющего пе-
ременный показатель преломления близкий к показателю преломле-
ния окружающей среды. Обозначим символом R2 плоскость попереч-
ного сечения волновода {x3 = const}. Обозначим через C2 (R2 ) про-
странство комплекснозначных дважды непрерывно дифференциру-
емых в R2 функций. Пусть Ω — ограниченная, не обязательно од-
носвязная область на плоскости R2 . Относительно показателя пре-
ломления волновода n предположим следующее: n — вещественная
функция, не зависящая от x3 ;
                      n = n∞ = const,   x∈
                                         / Ω;
                     n+ = max n(x) > n∞ > 0.
                            x∈Ω
Будем считать, что постоянная распространения β — неизвестный
комплексный параметр, ω > 0 — заданная частота электромагнит-
ных колебаний. В скалярном приближении слабонаправляющего вол-
новода (см. параграф 5 главы 1) задача сводится к отысканию таких
значений параметра β, при которых существуют нетривиальные ре-
шения уравнения Гельмгольца
                 £    ¡            ¢¤
                   ∆ + k 2 n2 − β 2 u = 0, x ∈ R2 .          (3.1)
Здесь k 2 = ω 2 ε0 µ0 , ε0 — электрическая постоянная, µ0 — магнитная
постоянная.
    Всюду в этой главе будем предполагать, что волновод имеет раз-
мытую границу, а именно, что n ∈ C2 (R2 ). Это предположение суще-
ственно используется в следующем параграфе при решении вектор-
ной задачи о собственных волнах. Результаты настоящего параграфа

Страницы