Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

68 Задачи и упражнения
=
i
4
∞
X
l=−∞
J
l
¡
χ
+/∞
r(y)
¢
exp (−ilϕ(y)) H
(1)
l
¡
χ
+/∞
r(x)
¢
exp (ilϕ(x)) .
2. Задача о собственных волнах металлического волновода про-
извольного поперечного сечения [12]. Пусть контур Γ, ограничива-
ющий область Ω поперечного сечения волновода, является дважды
непрерывно дифференцируемой кривой. Задача о собственных E-
поляризованных волнах металлического волновода заключается в по-
иске постоянных распространения β и отвечающих им дважды непре-
рывно дифференцируемых в Ω, непрерывных в
Ω нетривиальных ре-
шений u = E
3
уравнения
£
∆ +
¡
k
2
n
2
+
− β
2
¢¤
u = 0, x ∈ Ω, (2.62)
удовлетворяющих граничному условию
u = 0, x ∈ Γ. (2.63)
Задача о H-волнах заключается в поиске постоянных распростра-
нения β и отвечающих им дважды непрерывно дифференцируемых
в Ω, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в
Ω нетривиаль-
ных решений u = H
3
уравнения (1.90), удовлетворяющих граничному
условию
∂u
∂ν
= 0, x ∈ Γ. (2.64)
На основе представления собственных функций u задач (2.62),
(2.63) и (2.62), (2.64) в виде потенциала простого слоя:
u(x) =
Z
Γ
Φ
+
(β; x, y)f
+
(y)dl(y), x ∈ Ω,
получите нелинейные спектральные задачи для интегральных урав-
нений Фредгольма второго рода по контуру Γ.
3. Пусть контур Γ задан параметрически: r = r(t), t ∈ [0, 2π],
точки x ≡ x(t) и y ≡ y(s) принадлежат контуру Γ,
Φ
(0)
+/∞
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
µ
χ
+/∞
2R
¯
¯
¯
¯
sin
t − s
2
¯
¯
¯
¯
. (2.65)
Покажите справедливость следующих формул:
∂Φ
(0)
+/∞
(β; x, y)
∂ν (x)
= −
i
4
χ
+/∞
¯
¯
¯
¯
sin
t − s
2
¯
¯
¯
¯
H
(1)
1
µ
χ
+/∞
2R
¯
¯
¯
¯
sin
t − s
2
¯
¯
¯
¯
,
(2.66)
68                                               Задачи и упражнения


         ∞
       i X ¡           ¢               (1) ¡      ¢
     =     Jl χ+/∞ r(y) exp (−ilϕ(y)) Hl χ+/∞ r(x) exp (ilϕ(x)) .
       4
        l=−∞
   2. Задача о собственных волнах металлического волновода про-
извольного поперечного сечения [12]. Пусть контур Γ, ограничива-
ющий область Ω поперечного сечения волновода, является дважды
непрерывно дифференцируемой кривой. Задача о собственных E-
поляризованных волнах металлического волновода заключается в по-
иске постоянных распространения β и отвечающих им дважды непре-
рывно дифференцируемых в Ω, непрерывных в Ω нетривиальных ре-
шений u = E3 уравнения
                 £    ¡             ¢¤
                   ∆ + k 2 n2+ − β 2 u = 0, x ∈ Ω,         (2.62)
удовлетворяющих граничному условию
                            u = 0,   x ∈ Γ.                   (2.63)
    Задача о H-волнах заключается в поиске постоянных распростра-
нения β и отвечающих им дважды непрерывно дифференцируемых
в Ω, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в Ω нетривиаль-
ных решений u = H3 уравнения (1.90), удовлетворяющих граничному
условию
                             ∂u
                                = 0, x ∈ Γ.                 (2.64)
                             ∂ν
    На основе представления собственных функций u задач (2.62),
(2.63) и (2.62), (2.64) в виде потенциала простого слоя:
                        Z
                u(x) = Φ+ (β; x, y)f+ (y)dl(y), x ∈ Ω,
                       Γ
получите нелинейные спектральные задачи для интегральных урав-
нений Фредгольма второго рода по контуру Γ.
   3. Пусть контур Γ задан параметрически: r = r(t), t ∈ [0, 2π],
точки x ≡ x(t) и y ≡ y(s) принадлежат контуру Γ,
                                  µ         ¯      ¯¶
             (0)            i (1)           ¯ t − s¯
           Φ+/∞ (β; x, y) = H0     χ+/∞ 2R ¯¯sin   ¯ .    (2.65)
                            4                    2 ¯
Покажите справедливость следующих формул:
    (0)                     ¯       ¯     µ         ¯      ¯¶
  ∂Φ+/∞ (β; x, y)    i      ¯ t − s ¯ (1)           ¯ t − s¯
                  = − χ+/∞ ¯¯sin    ¯H     χ+/∞ 2R ¯¯sin   ¯ ,
      ∂ν (x)         4           2 ¯ 1                   2 ¯
                                                            (2.66)

Страницы