Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи и упражнения 67
f
∞
=
³
w
(3)
− w
(1)
´
/|r
0
|,
g
+
= w
(4)
/|r
0
|,
g
∞
=
³
w
(4)
− w
(2)
´
/|r
0
|,
принадлежит множеству U
6
и является собственным вектором
задачи (2.29) – (2.32), отвечающим собственному значению β
0
. Ес-
ли вектор {E, H} является собственным вектором задачи (2.29) –
(2.32), отвечающим собственному значению β
0
∈ Λ
(1)
0
\ D, то по-
тенциальные функции u = E
3
и v = H
3
могут быть представлены
в виде потенциалов простого слоя (2.51), (2.52) с непрерывными по
Гельдеру плотностями f
+
, f
∞
и g
+
, g
∞
соответственно. При этом
функция
w = ((f
+
− f
∞
)|r
0
|, (g
+
− g
∞
)|r
0
|, f
+
|r
0
|, g
+
|r
0
|) ∈ W
является собственной функцией оператор-функции A(β), отвечаю-
щей характеристическому значению β
0
.
Из теорем 2.7, 2.8 и 2.9 и результатов [9], [51] непосредственно
следует
Теорема 2.10. Регулярное множество определенной в (2.61)
оператор-функции A(β) не пусто, а именно, B ⊂ ρ(A). Характе-
ристическое множество σ(A) оператор-функции A(β) может со-
стоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристи-
ческими значениями оператор-функции A(β). Каждое характери-
стическое значение β оператор-функции A(β) непрерывно зависит
от параметров (ω, n
+
, n
∞
) ∈ R
3
+
. Кроме того, с изменением пара-
метров (ω, n
+
, n
∞
) ∈ R
3
+
характеристические значения оператор-
функции A(β) могут появляться и исчезать только на границе Λ,
то есть в точках ±kn
+
, ±kn
∞
и на бесконечности.
Задачи и упражнения
1. С помощью теоремы сложения Графа проверьте справедли-
вость формулы
Φ
+/∞
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
¡
χ
+/∞
(β) |x − y|
¢
=
Задачи и упражнения                                                      67

                                 ³                    ´
                                     (3)        (1)
                         f∞ = w            −w             /|r0 |,

                               g+ = w(4) /|r0 |,
                                ³             ´
                                  (4)     (2)
                         g∞   = w −w             /|r0 |,
принадлежит множеству U 6 и является собственным вектором
задачи (2.29) – (2.32), отвечающим собственному значению β0 . Ес-
ли вектор {E, H} является собственным вектором задачи (2.29) –
                                                     (1)
(2.32), отвечающим собственному значению β0 ∈ Λ0 \ D, то по-
тенциальные функции u = E3 и v = H3 могут быть представлены
в виде потенциалов простого слоя (2.51), (2.52) с непрерывными по
Гельдеру плотностями f+ , f∞ и g+ , g∞ соответственно. При этом
функция

        w = ((f+ − f∞ )|r0 |, (g+ − g∞ )|r0 |, f+ |r0 |, g+ |r0 |) ∈ W

является собственной функцией оператор-функции A(β), отвечаю-
щей характеристическому значению β0 .
   Из теорем 2.7, 2.8 и 2.9 и результатов [9], [51] непосредственно
следует
    Теорема 2.10. Регулярное множество определенной в (2.61)
оператор-функции A(β) не пусто, а именно, B ⊂ ρ(A). Характе-
ристическое множество σ(A) оператор-функции A(β) может со-
стоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристи-
ческими значениями оператор-функции A(β). Каждое характери-
стическое значение β оператор-функции A(β) непрерывно зависит
от параметров (ω, n+ , n∞ ) ∈ R3+ . Кроме того, с изменением пара-
метров (ω, n+ , n∞ ) ∈ R3+ характеристические значения оператор-
функции A(β) могут появляться и исчезать только на границе Λ,
то есть в точках ±kn+ , ±kn∞ и на бесконечности.

                        Задачи и упражнения

    1. С помощью теоремы сложения Графа проверьте справедли-
вость формулы
                              i (1) ¡             ¢
              Φ+/∞ (β; x, y) = H0 χ+/∞ (β) |x − y| =
                              4

Страницы