Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке 65
B
(k)
+/∞
(β)u =
1
2π
2π
Z
0
h
(k)
+/∞
(β; t, τ)u(τ)dτ, t ∈ [0, 2π], k = 1, 2, 3,
где
h
(1)
+/∞
(β; t, τ) = 2πΦ
+/∞
(β; x, y) + ln |sin
t −τ
2
|,
h
(2)
+/∞
(β; t, τ) = 4π|r
0
(τ)|
∂Φ
+/∞
(β; x, y)
∂ν(x)
,
h
(3)
+/∞
(β; t, τ) = 2|r
0
(τ)|
∂h
(1)
+/∞
(β; t, τ)
∂τ(x)
− i,
x ≡ x(t), y ≡ y(τ).
Известно, что линейный непрерывный оператор L : C
0,α
→ C
1,α
,
определенный равенством (2.59), непрерывно обратим (см., напр., [7],
c. 10). При любом β ∈ Λ операторы
B
(1)
+/∞
(β) : C
0,α
→ C
1,α
,
B
(2)
+/∞
(β), B
(3)
+/∞
(β) : C
0,α
→ C
0,α
вполне непрерывны в силу того, что ядра h
(2)
+/∞
, h
(3)
+/∞
не имеют осо-
бенности при t = τ, а ядра h
(1)
+/∞
являются дважды непрерывно диф-
ференцируемыми по t функциями (t, τ) ∈ [0, 2π] × [0, 2π]. В этом
нетрудно убедиться, используя свойства функций Ханкеля. Следова-
тельно, для любого β ∈ Λ оператор B(β), определенный равенством
(2.58), является вполне непрерывным оператором, действующим в ба-
наховом пространстве
W = C
0,α
× C
0,α
× C
0,α
× C
0,α
.
Линейный непрерывный оператор S : C
0,α
→ C
0,α
, определенный
равенством (2.60), непрерывно обратим (см., напр., [24], с. 118). Точ-
ки ветвления β = ±kn
+
, β = ±kn
∞
не принадлежат поверхности Λ.
Следовательно, линейный непрерывный оператор C : W → W , опре-
деленный равенством (2.57), непрерывно обратим в W при любом
значении β ∈ Λ.
Таким образом, система интегральных уравнений (2.56) эквива-
лентна операторному уравнению
A(β)w ≡ (I + B(β))w = 0, (2.61)
§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке                                           65


                         Z2π
    (k)           1                (k)
   B+/∞ (β)u   =               h+/∞ (β; t, τ )u(τ )dτ,                  t ∈ [0, 2π],     k = 1, 2, 3,
                 2π
                         0
где
               (1)                                               t−τ
            h+/∞ (β; t, τ ) = 2πΦ+/∞ (β; x, y) + ln |sin              |,
                                                                   2
                      (2)                           ∂Φ+/∞ (β; x, y)
                     h+/∞ (β; t, τ ) = 4π|r 0 (τ )|                 ,
                                                       ∂ν(x)
                                                                  (1)
                  (3)
                                                               ∂h+/∞ (β; t, τ )
                 h+/∞ (β; t, τ )               = 2|r 0 (τ )|                      − i,
                                                               ∂τ (x)
                                     x ≡ x(t),            y ≡ y(τ ).
    Известно, что линейный непрерывный оператор L : C 0,α → C 1,α ,
определенный равенством (2.59), непрерывно обратим (см., напр., [7],
c. 10). При любом β ∈ Λ операторы
                                         (1)
                                   B+/∞ (β) : C 0,α → C 1,α ,
                             (2)                   (3)
                        B+/∞ (β), B+/∞ (β) : C 0,α → C 0,α
                                                                         (2)      (3)
вполне непрерывны в силу того, что ядра h+/∞ , h+/∞ не имеют осо-
                                                (1)
бенности при t = τ , а ядра h+/∞ являются дважды непрерывно диф-
ференцируемыми по t функциями (t, τ ) ∈ [0, 2π] × [0, 2π]. В этом
нетрудно убедиться, используя свойства функций Ханкеля. Следова-
тельно, для любого β ∈ Λ оператор B(β), определенный равенством
(2.58), является вполне непрерывным оператором, действующим в ба-
наховом пространстве

                         W = C 0,α × C 0,α × C 0,α × C 0,α .

    Линейный непрерывный оператор S : C 0,α → C 0,α , определенный
равенством (2.60), непрерывно обратим (см., напр., [24], с. 118). Точ-
ки ветвления β = ±kn+ , β = ±kn∞ не принадлежат поверхности Λ.
Следовательно, линейный непрерывный оператор C : W → W , опре-
деленный равенством (2.57), непрерывно обратим в W при любом
значении β ∈ Λ.
    Таким образом, система интегральных уравнений (2.56) эквива-
лентна операторному уравнению

                              A(β)w ≡ (I + B(β))w = 0,                                           (2.61)

Страницы