Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке 63
³
A
(4,1)
(β)f
+
´
(x) =
=
µ
β
χ
2
+
(β)
−
β
χ
2
∞
(β)
Z
Γ
∂Φ
+
(β; x, y)
∂τ (x)
f
+
(y) dl (y), x ∈ Γ,
³
A
(4,3)
(β)g
+
´
(x) =
= −
µ
0
ω
χ
2
+
(β)
g
+
(x)
2
+
Z
Γ
∂Φ
+
(β; x, y)
∂ν (x)
g
+
(y) dl (y)
, x ∈ Γ,
³
A
(4,4)
(β)g
∞
´
(x) =
=
µ
0
ω
χ
2
∞
(β)
−
g
∞
(x)
2
+
Z
Γ
∂Φ
∞
(β; x, y)
∂ν (x)
g
∞
(y) dl (y)
, x ∈ Γ.
Функции Φ
+
(β; x, y), Φ
∞
(β; x, y) имеют логарифмическую особен-
ность при x = y. Ядра интегральных операторов, содержащих нор-
мальные производные этих функций, непрерывны. Операторы, яд-
ра которых содержат касательные производные функций Φ
+
(β; x, y)
и Φ
∞
(β; x, y) – сингулярные интегральные операторы с ядром Коши.
Пусть контур Γ задан параметрически: r = r(t), t ∈ [0, 2π]. Перей-
дем к переменной интегрирования t, выделим явно особенности ядер
и преобразуем систему (2.55) к виду
(C(β)w)( t) + (B(β)w)( t) = 0, t ∈ [0, 2π]. (2.56)
Здесь вектор w =
¡
w
(j)
¢
4
j=1
имеет компоненты
w
(1)
(t) = (f
+
(x) − f
∞
(x))|r
0
(t)|,
w
(2)
(t) = (g
+
(x) − g
∞
(x))|r
0
(t)|,
w
(3)
(t) = f
+
(x)|r
0
(t)|,
w
(4)
(t) = g
+
(x)|r
0
(t)|.
Интегральные операторы C и B определены с помощью следующих
равенств:
C(β)w =
I 0 0 0
0 I 0 0
c
3,1
(β)I c
3,2
(β)S c
3,3
(β)I c
3,4
(β)S
c
4,1
(β)S c
4,2
(β)I c
4,3
(β)S c
4,4
(β)I
w
(1)
w
(2)
w
(3)
w
(4)
, (2.57)
§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке                            63

                                ³                    ´
                                        (4,1)
                                A               (β)f+ (x) =
          µ                     ¶Z
                 β       β                   ∂Φ+ (β; x, y)
      =              −                                     f+ (y) dl (y),    x ∈ Γ,
              χ2+ (β) χ2∞ (β)                  ∂τ (x)
                                        Γ
                                ³                    ´
                                        (4,3)
                                    A           (β)g+ (x) =
                                                                     
                                 Z
           µ0 ω  g+ (x)                    ∂Φ+ (β; x, y)
     =−                  +                                g+ (y) dl (y) ,   x ∈ Γ,
          χ2+ (β)   2                         ∂ν (x)
                                    Γ
                                ³                    ´
                                        (4,4)
                                    A           (β)g∞ (x) =
                                                                      
                                 Z
         µ0 ω  g∞ (x)                      ∂Φ∞ (β; x, y)
    =           −      +                                  g∞ (y) dl (y) ,    x ∈ Γ.
        χ2∞ (β)   2                           ∂ν (x)
                                    Γ

    Функции Φ+ (β; x, y), Φ∞ (β; x, y) имеют логарифмическую особен-
ность при x = y. Ядра интегральных операторов, содержащих нор-
мальные производные этих функций, непрерывны. Операторы, яд-
ра которых содержат касательные производные функций Φ+ (β; x, y)
и Φ∞ (β; x, y) – сингулярные интегральные операторы с ядром Коши.
Пусть контур Γ задан параметрически: r = r(t), t ∈ [0, 2π]. Перей-
дем к переменной интегрирования t, выделим явно особенности ядер
и преобразуем систему (2.55) к виду
             (C(β)w)( t) + (B(β)w)( t) = 0, t ∈ [0, 2π].                              (2.56)
                 ¡     ¢4
Здесь вектор w = w(j) j=1 имеет компоненты

                         w(1) (t) = (f+ (x) − f∞ (x))|r 0 (t)|,
                         w(2) (t) = (g+ (x) − g∞ (x))|r 0 (t)|,
                               w(3) (t) = f+ (x)|r0 (t)|,
                               w(4) (t) = g+ (x)|r0 (t)|.
Интегральные операторы C и B определены с помощью следующих
равенств:
                                                     (1) 
                 I         0         0         0        w
                0         I         0         0      w(2) 
          
  C(β)w =                                                  , (2.57)
            c3,1 (β)I c3,2 (β)S c3,3 (β)I c3,4 (β)S   w(3) 
            c4,1 (β)S c4,2 (β)I c4,3 (β)S c4,4 (β)I     w(4)

Страницы