Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке 61
Из разложения (2.32) следует, что для всех x : |x| ≥ R
0
функ-
ции u, v разлагаются в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды
·
u
v
¸
=
∞
X
l=−∞
·
A
3,l
B
3,l
¸
H
(1)
l
(χ
∞
r) exp (ilϕ) .
(2.50)
Очевидно, что если при некотором β
0
∈ Λ будет найдено нетри-
виальное решение {u, v} ∈ U
2
задачи (2.47) – (2.50), то вектор, по-
строенный по формулам (2.45), (2.46), будет собственным вектором
задачи (2.29) – (2.32), отвечающим собственному значению β
0
. Ре-
шения задачи (2.47) – (2.50) будем разыскивать в виде потенциалов
простого слоя
·
u(x)
v(x)
¸
=
Z
Γ
Φ
+
(β; x, y)
·
f
+
(y)
g
+
(y)
¸
dl(y), x ∈ Ω, (2.51)
·
u(x)
v(x)
¸
=
Z
Γ
Φ
∞
(β; x, y)
·
f
∞
(y)
g
∞
(y)
¸
dl(y), x ∈ Ω
∞
(2.52)
с плотностями f
+
, f
∞
, g
+
, g
∞
, принадлежащими пространству непре-
рывных по Гельдеру функций C
0,α
. Здесь
Φ
+
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
+
(β) |x − y|) , (2.53)
Φ
∞
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
∞
(β) |x − y|) . (2.54)
При всех β ∈ Λ и f
+
, f
∞
, g
+
, g
∞
∈ C
0,α
функции u, v, задавае-
мые равенствами (2.51), (2.52), удовлетворяют требуемым свойствам
гладкости и уравнениям (2.47), (2.48). С помощью разложения (2.15)
нетрудно убедиться, что функции u, v удовлетворяют условию (2.50).
Используем теперь граничные условия (2.49) для того, чтобы по-
лучить нелинейную спектральную задачу для системы интегральных
уравнений. Граничные условия (2.49) содержат предельные значения
касательных производных функций u, v на контуре Γ. По аналогии
с [24], с. 56, можно показать, что для любого β ∈ Λ касательные
производные потенциалов простого слоя (2.51) с непрерывными по
Гельдеру плотностями при x → z ∈ Γ представимы сингулярными
интегралами с ядром Коши:
lim
x→z∈Γ
∂u(x)
∂τ
=
Z
Γ
∂
∂τ(x)
Φ
+
(β; z, y)f
+
(y)dl(y), z ∈ Γ,
§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке         61


   Из разложения (2.32) следует, что для всех x : |x| ≥ R0 функ-
ции u, v разлагаются в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды
              · ¸     X∞ ·       ¸
                u           A3,l    (1)
                   =               Hl (χ∞ r) exp (ilϕ) .   (2.50)
                v           B3,l
                           l=−∞

   Очевидно, что если при некотором β0 ∈ Λ будет найдено нетри-
виальное решение {u, v} ∈ U 2 задачи (2.47) – (2.50), то вектор, по-
строенный по формулам (2.45), (2.46), будет собственным вектором
задачи (2.29) – (2.32), отвечающим собственному значению β0 . Ре-
шения задачи (2.47) – (2.50) будем разыскивать в виде потенциалов
простого слоя
           ·      ¸ Z             ·        ¸
             u(x)                   f+ (y)
                   = Φ+ (β; x, y)            dl(y), x ∈ Ω,    (2.51)
             v(x)                   g+ (y)
                          Γ
        ·      ¸     Z               ·       ¸
            u(x)                      f∞ (y)
                 =       Φ∞ (β; x, y)          dl(y),   x ∈ Ω∞    (2.52)
            v(x)                      g∞ (y)
                     Γ
с плотностями f+ , f∞ , g+ , g∞ , принадлежащими пространству непре-
рывных по Гельдеру функций C 0,α . Здесь
                                 i (1)
                 Φ+ (β; x, y) = H0 (χ+ (β) |x − y|) ,             (2.53)
                                4
                                 i (1)
                 Φ∞ (β; x, y) = H0 (χ∞ (β) |x − y|) .             (2.54)
                                4
    При всех β ∈ Λ и f+ , f∞ , g+ , g∞ ∈ C 0,α функции u, v, задавае-
мые равенствами (2.51), (2.52), удовлетворяют требуемым свойствам
гладкости и уравнениям (2.47), (2.48). С помощью разложения (2.15)
нетрудно убедиться, что функции u, v удовлетворяют условию (2.50).
    Используем теперь граничные условия (2.49) для того, чтобы по-
лучить нелинейную спектральную задачу для системы интегральных
уравнений. Граничные условия (2.49) содержат предельные значения
касательных производных функций u, v на контуре Γ. По аналогии
с [24], с. 56, можно показать, что для любого β ∈ Λ касательные
производные потенциалов простого слоя (2.51) с непрерывными по
Гельдеру плотностями при x → z ∈ Γ представимы сингулярными
интегралами с ядром Коши:
                       Z
               ∂u(x)         ∂
           lim       =            Φ+ (β; z, y)f+ (y)dl(y), z ∈ Γ,
         x→z∈Γ ∂τ          ∂τ (x)
                              Γ

Страницы