Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

60 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления
точки ветвления β = ±kn
+
, β = ±kn
∞
не принадлежат поверхно-
сти Λ. Следовательно, как было доказано в утверждении 1.5, с. 13,
существуют такие потенциальные функции u, v ∈ U, что
E
1
=
i
k
2
n
2
− β
2
µ
µ
0
ω
∂v
∂x
2
+ β
∂u
∂x
1
,
E
2
=
−i
k
2
n
2
− β
2
µ
µ
0
ω
∂v
∂x
1
− β
∂u
∂x
2
, (2.45)
E
3
= u,
H
1
=
i
k
2
n
2
− β
2
µ
β
∂v
∂x
1
− ε
0
n
2
ω
∂u
∂x
2
,
H
2
=
i
k
2
n
2
− β
2
µ
β
∂v
∂x
2
+ ε
0
n
2
ω
∂u
∂x
1
, (2.46)
H
3
= v.
Потенциальные функции u(x) и v(x) для всех x ∈ R
2
\ Γ удовлетво-
ряют уравнениям Гельмгольца
£
∆ +
¡
k
2
n
2
+
− β
2
¢¤
·
u
v
¸
= 0, x ∈ Ω, (2.47)
£
∆ +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
·
u
v
¸
= 0, x ∈ Ω
∞
. (2.48)
Как было доказано в утверждении 1.6, с. 17, на контуре Γ должны
выполняться условия сопряжения:
u
+
= u
−
, v
+
= v
−
, x ∈ Γ,
1
k
2
n
2
+
− β
2
µ
β
∂v
∂τ
+ ε
0
n
2
+
ω
∂u
−
∂ν
=
=
1
k
2
n
2
∞
− β
2
µ
β
∂v
∂τ
+ ε
0
n
2
∞
ω
∂u
+
∂ν
, x ∈ Γ, (2.49)
1
k
2
n
2
+
− β
2
µ
β
∂u
∂τ
− µ
0
ω
∂v
−
∂ν
=
=
1
k
2
n
2
∞
− β
2
µ
β
∂u
∂τ
− µ
0
ω
∂v
+
∂ν
, x ∈ Γ.
60              Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


точки ветвления β = ±kn+ , β = ±kn∞ не принадлежат поверхно-
сти Λ. Следовательно, как было доказано в утверждении 1.5, с. 13,
существуют такие потенциальные функции u, v ∈ U , что
                              µ                 ¶
                         i           ∂v     ∂u
               E1 = 2 2         µ0 ω     +β       ,
                     k n − β2        ∂x2    ∂x1
                              µ                 ¶
                        −i           ∂v     ∂u
               E2 = 2 2         µ0 ω     −β       ,        (2.45)
                     k n − β2        ∂x1    ∂x2
                            E3 = u,
                                µ                  ¶
                        i       ∂v         2 ∂u
               H1 = 2 2       β     − ε0 n ω         ,
                   k n − β2     ∂x1            ∂x2
                            µ                      ¶
                        i       ∂v             ∂u
               H2 = 2 2   2
                              β     + ε 0 n2 ω       ,           (2.46)
                   k n −β       ∂x2            ∂x1
                            H3 = v.
Потенциальные функции u(x) и v(x) для всех x ∈ R2 \ Γ удовлетво-
ряют уравнениям Гельмгольца
                                   · ¸
               £     ¡ 2 2    2
                                ¢¤ u
                 ∆ + k n+ − β          = 0, x ∈ Ω,         (2.47)
                                     v
                                  · ¸
             £      ¡ 2 2     ¢¤    u
               ∆ + k n∞ − β 2          = 0, x ∈ Ω∞ .       (2.48)
                                    v
   Как было доказано в утверждении 1.6, с. 17, на контуре Γ должны
выполняться условия сопряжения:

                   u+ = u− , v + = v − , x ∈ Γ,
                              µ                     −
                                                      ¶
                       1          ∂v             ∂u
                 2   2      2
                                β     + ε0 n2+ ω        =
                k n+ − β          ∂τ              ∂ν
                           µ                       ¶
                  1            ∂v         2   ∂u+
           = 2 2             β     + ε 0 n∞ ω         , x ∈ Γ,   (2.49)
             k n∞ − β 2        ∂τ              ∂ν
                               µ                    ¶
                         1          ∂u         ∂v −
                                  β    − µ0 ω          =
                 k 2 n2+ − β 2      ∂τ          ∂ν
                            µ                    ¶
                    1            ∂u         ∂v +
            = 2 2              β     − µ0 ω         , x ∈ Γ.
              k n∞ − β 2         ∂τ          ∂ν

Страницы