Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления
с. 9, функция E удовлетворяет в области Ω
∞
уравнению Гельмголь-
ца (1.16) с постоянным коэффициентом, следовательно, является ана-
литической по x в Ω
∞
. Таким образом,
E = 0, x ∈ Ω
∞
. (2.39)
Следовательно,
H = 1/(iωµ
0
)rot
β
E = 0, x ∈ Ω
∞
. (2.40)
Докажем теперь, что вектор {E, H} равен нулю и в области Ω.
Согласно утверждению 1.5, с. 13, все компоненты этого вектора в
рассматриваемом случае выражаются через две функции E
3
и H
3
,
удовлетворяющие в области Ω уравнению Гельмгольца (1.33), с. 13,
с постоянным коэффициентом. Из (2.39), (2.40) и условий сопряже-
ния (1.48), с. 17, следует, что
E
3
−
= 0,
∂E
3
∂ν
−
= 0, H
3
−
= 0,
∂H
3
∂ν
−
= 0, x ∈ Γ. (2.41)
Применим в области Ω к функциям E
3
и H
3
третью формулу Гри-
на (2.9), с. 45, выражающую решение уравнения Гельмгольца (1.33),
с. 13, в Ω через предельное значение решения и его нормальной про-
изводной на Γ. Заключим, что E
3
= 0 и H
3
= 0 в области Ω. Ис-
пользуем представления (1.30), (1.31), с. 13, для остальных компонент
вектора {E, H}. Заключим, что он равен нулю в Ω. В силу предпо-
ложения о гладкости {E, H} этот вектор равен нулю и на контуре Γ.
Итак, мы доказали, что при β ∈ D вектор {E, H} обращается в нуль
на всей плоскости R
2
. Это противоречит предположению о том, что
вектор {E, H} является собственным вектором задачи (2.29) – (2.32),
отвечающим собственному значению β ∈ D. Следовательно, множе-
ство D свободно от собственных значений задачи (2.29) – (2.32).
Для любого β ∈ B и любой функции E, разлагающейся в
ряд (2.32), в силу асимптотики (1.63), с. 24, подынтегральные вы-
ражения в равенстве (2.37) экспоненциально убывают при |x| → ∞.
Перейдем в (2.37) к пределу при R → ∞. Получим следующее равен-
ство:
Z
Ω∪Ω
∞
|rot
β
E|
2
dx = k
2
Z
Ω∪Ω
∞
n
2
|E|
2
dx. (2.42)
Используем уравнения (1.9) и (1.13), с. 9, формулу интегрирования
58               Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


с. 9, функция E удовлетворяет в области Ω∞ уравнению Гельмголь-
ца (1.16) с постоянным коэффициентом, следовательно, является ана-
литической по x в Ω∞ . Таким образом,

                              E = 0,   x ∈ Ω∞ .                       (2.39)

Следовательно,

                  H = 1/(iωµ0 )rotβ E = 0,        x ∈ Ω∞ .            (2.40)

    Докажем теперь, что вектор {E, H} равен нулю и в области Ω.
Согласно утверждению 1.5, с. 13, все компоненты этого вектора в
рассматриваемом случае выражаются через две функции E3 и H3 ,
удовлетворяющие в области Ω уравнению Гельмгольца (1.33), с. 13,
с постоянным коэффициентом. Из (2.39), (2.40) и условий сопряже-
ния (1.48), с. 17, следует, что

       −         ∂E3 −            −        ∂H3 −
     E3 = 0,           = 0,     H3 = 0,          = 0,        x ∈ Γ.   (2.41)
                 ∂ν                        ∂ν
Применим в области Ω к функциям E3 и H3 третью формулу Гри-
на (2.9), с. 45, выражающую решение уравнения Гельмгольца (1.33),
с. 13, в Ω через предельное значение решения и его нормальной про-
изводной на Γ. Заключим, что E3 = 0 и H3 = 0 в области Ω. Ис-
пользуем представления (1.30), (1.31), с. 13, для остальных компонент
вектора {E, H}. Заключим, что он равен нулю в Ω. В силу предпо-
ложения о гладкости {E, H} этот вектор равен нулю и на контуре Γ.
Итак, мы доказали, что при β ∈ D вектор {E, H} обращается в нуль
на всей плоскости R2 . Это противоречит предположению о том, что
вектор {E, H} является собственным вектором задачи (2.29) – (2.32),
отвечающим собственному значению β ∈ D. Следовательно, множе-
ство D свободно от собственных значений задачи (2.29) – (2.32).
    Для любого β ∈ B и любой функции E, разлагающейся в
ряд (2.32), в силу асимптотики (1.63), с. 24, подынтегральные вы-
ражения в равенстве (2.37) экспоненциально убывают при |x| → ∞.
Перейдем в (2.37) к пределу при R → ∞. Получим следующее равен-
ство:              Z                    Z
                              2
                      |rotβ E| dx = k 2
                                             n2 |E|2 dx.        (2.42)
                 Ω∪Ω∞                    Ω∪Ω∞

Используем уравнения (1.9) и (1.13), с. 9, формулу интегрирования

Страницы