Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке 57
B =
n
β ∈ R
(1)
0
: |β| > kn
+
o
.
Определение 2.7. Ненулевой вектор {E, H} ∈ U
6
будем назы-
вать собственным вектором задачи (2.29) – (2.32), отвечающим соб-
ственному значению β ∈ Λ, если выполнены условия (2.29) – (2.32).
Теорема 2.7. Мнимая и вещественная оси листа Λ
(1)
0
, за ис-
ключением множества G, не содержат собственных значений за-
дачи (2.29) – (2.32).
Доказательство. Вещественная и мнимая оси листа Λ
(1)
0
пред-
ставляют собой объединение трех множеств B, D и G. Докажем,
что множества B и D свободны от собственных значений задачи
(2.29) – (2.32). Предположим, что {E, H} — собственный вектор за-
дачи (2.29) – (2.32), отвечающий собственному значению β ∈ B ∪ D.
Согласно утверждению 1.1, с. 9, для всех x из R
2
\ Γ имеет место
равенство
rot
β
(rot
β
E) = k
2
n
2
E, (2.36)
Введем следующие обозначения:
Ω
R
= {x ∈ Ω
∞
: |x| < R},
Γ
R
= {x ∈ Ω
∞
: |x| = R},
где R ≥ R
0
. Умножим скалярно обе части уравнения (2.36) на
¯
E, про-
интегрируем по области Ω ∪Ω
R
, применим формулу интегрирования
по частям и используем граничные условия (2.30), (2.31). Получим
равенство
Z
Ω∪Ω
R
|rot
β
E|
2
dx +
Z
Γ
R
ν × rot
β
E ·
¯
Edx = k
2
Z
Ω∪Ω
R
n
2
|E|
2
dx. (2.37)
Для любой функции E, разлагающейся в ряд (2.32), и любого
значения β ∈ D (то есть при χ
∞
> 0) справедливо равенство
Im
Z
Γ
R
ν × rot
β
E ·
¯
Edx = −4
∞
X
l=−∞
|A
l
|
2
. (2.38)
В этом можно убедиться непосредственными вычислениями. Из двух
последних равенств следует, что A
l
= 0 для всех l и R ≥ R
0
. Следо-
вательно, E = 0 при |x| ≥ R
0
. Как было доказано в утверждении 1.2,
§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке           57

                              n                    o
                                   (1)
                      B= β∈       R0     : |β| > kn+ .


    Определение 2.7. Ненулевой вектор {E, H} ∈ U 6 будем назы-
вать собственным вектором задачи (2.29) – (2.32), отвечающим соб-
ственному значению β ∈ Λ, если выполнены условия (2.29) – (2.32).
                                                                (1)
   Теорема 2.7. Мнимая и вещественная оси листа Λ0 , за ис-
ключением множества G, не содержат собственных значений за-
дачи (2.29) – (2.32).
                                                                  (1)
    Доказательство. Вещественная и мнимая оси листа Λ0 пред-
ставляют собой объединение трех множеств B, D и G. Докажем,
что множества B и D свободны от собственных значений задачи
(2.29) – (2.32). Предположим, что {E, H} — собственный вектор за-
дачи (2.29) – (2.32), отвечающий собственному значению β ∈ B ∪ D.
Согласно утверждению 1.1, с. 9, для всех x из R2 \ Γ имеет место
равенство
                         rotβ (rotβ E) = k 2 n2 E,          (2.36)
Введем следующие обозначения:
                         ΩR = {x ∈ Ω∞ : |x| < R} ,
                         ΓR = {x ∈ Ω∞ : |x| = R} ,
где R ≥ R0 . Умножим скалярно обе части уравнения (2.36) на Ē, про-
интегрируем по области Ω ∪ ΩR , применим формулу интегрирования
по частям и используем граничные условия (2.30), (2.31). Получим
равенство
     Z               Z                        Z
                2
        |rotβ E| dx + ν × rotβ E · Ēdx = k 2   n2 |E|2 dx.   (2.37)
   Ω∪ΩR                  ΓR                       Ω∪ΩR

   Для любой функции E, разлагающейся в ряд (2.32), и любого
значения β ∈ D (то есть при χ∞ > 0) справедливо равенство
                 Z                       X∞
              Im ν × rotβ E · Ēdx = −4      |Al |2 .     (2.38)
                    ΓR                          l=−∞

В этом можно убедиться непосредственными вычислениями. Из двух
последних равенств следует, что Al = 0 для всех l и R ≥ R0 . Следо-
вательно, E = 0 при |x| ≥ R0 . Как было доказано в утверждении 1.2,

Страницы