Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 55 стр.

§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке      55


ной оператор функции A(β) при наличии в области ее голоморфно-
сти хотя бы одной регулярной точки, и теоремы S. Steinberg 2.2 о
поведении характеристических значений такой оператор-функции в
зависимости от изменения вещественного параметра ω в случае, если
оператор-функция является совместно непрерывной функцией β и ω.
Отметим, что теорема S. Steinberg справедлива для частного случая,
когда оператор-функция A(β, ω) имеет вид A(β, ω) = I + B(β, ω),
где B(β, ω) — вполне непрерывный оператор. ¤

   § 3. Векторная задача в полной электродинамической
                          постановке

    1. Постановка задачи и локализация собственных значе-
ний. Сформулируем задачу о собственных волнах цилиндрического
диэлектрического волновода с произвольным контуром поперечно-
го сечения и произвольным постоянным показателем преломления.
Пусть область поперечного сечения волновода Ω ограничена дважды
непрерывно дифференцируемым контуром Γ. Показатель преломле-
ния n является кусочно-постоянной функцией, а именно он равен кон-
станте n+ в области Ω, а в области Ω∞ = R2 \ Ω — константе n∞ ;
пусть 0 < n∞ < n+ . Постоянная распространения β — неизвестный
комплексный параметр, ω > 0 — заданная частота электромагнитных
колебаний. Задача сводится (см. главу 1) к отысканию таких значений
параметра β, при которых существуют нетривиальные решения E, H
системы уравнений

       rotβ E =iωµ0 H,    rotβ H = − iωε0 n2 E,   x ∈ R2 \ Γ,   (2.29)

где ε0 — диэлектрическая проницаемость свободного простран-
ства, µ0 — магнитная проницаемость свободного пространства, век-
торная операция rotβ определена равенством (1.4), с. 7.
    Обозначим через U множество функций, непрерывных и непре-
рывно дифференцируемых в Ω и Ω∞ , дважды непрерывно диффе-
ренцируемых в Ω и Ω∞ . Будем разыскивать нетривиальные реше-
ния {E, H} системы (2.29) в пространстве U 6 = U × . . . × U .
    Потребуем, чтобы на контуре Γ векторы E, H удовлетворяли усло-
виям сопряжения (см. главy 1), которые заключаются в том, что при
переходе через эту границу касательные составляющие векторов E, H