Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 53 стр.

§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода      53


    Определение 2.6. Ненулевую функцию w ∈ W будем называть
собственной функцией оператор-функции A(β), отвечающей харак-
теристическому значению β ∈ Λ, если выполнено уравнение (2.25).
Характеристическим множеством оператор-функции A(β) будем на-
зывать множество чисел β ∈ Λ, для которых оператор A(β) не имеет
ограниченного обратного в W . Это множество будем обозначать сим-
волом σ(A). Обозначим ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β)−1 : W → W }
множество регулярных точек оператора A(β).
   3. Дискретность характеристического множества и зави-
симость характеристических значений от параметров. Ис-
следуем теперь эквивалентность задач (2.2) – (2.5) и (2.25).
    Теорема 2.5. Если w ∈ W является собственной функцией
оператор-функции A(β), отвечающей характеристическому значе-
            (1)
нию β0 ∈ Λ0 \ D, то функция u, определяемая равенствами (2.19),
(2.20), где β = β0 ,

                     f+ = w(2) /2 + L−1 w(1) /(2|r0 |),            (2.27)

                    f∞ = w(2) /2 − L−1 w(1) /(2|r0 |),             (2.28)
принадлежит множеству U и является собственной функцией за-
дачи (2.2) – (2.5), отвечающей собственному значению β0 . Любая
собственная функция u ∈ U задачи (2.2) – (2.5), отвечающая соб-
                            (1)
ственному значению β0 ∈ Λ0 \ D, может быть представлена в
виде потенциалов простого слоя (2.19), (2.20) с непрерывными по
Гельдеру плотностями f+ , f∞ соответственно. При этом функция

                 w = (L[(f+ − f∞ )|r0 |], f+ + f∞ ) ∈ W

является собственной функцией оператор-функции A(β), отвечаю-
щей характеристическому значению β0 .
    В связи с тем, что доказательство этой теоремы достаточно объ-
емно [15], ограничимся изложением его краткой схемы. Идея дока-
зательства первого утверждения теоремы 2.5 базируется на резуль-
тате [30] о том, что если потенциал простого слоя равен нулю, то
его плотность также равна нулю. Этот результат распространен в
статье [15] на случай потенциалов, удовлетворяющих парциальным
условиям излучения. При этом существенным образом используются
известные теоремы единственности решений внешних задач Дирихле