Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 51
Здесь
p
(1)
(τ) = (f
+
(y) − f
∞
(y)) |r
0
(τ)|, p
(2)
(τ) = f
+
(y) + f
∞
(y),
Lp
(1)
= −
1
2π
2π
Z
0
ln |sin
t − τ
2
|p
(1)
(τ)dτ, t ∈ [0, 2π],
B
(i,j)
(β)p
(j)
=
1
2π
2π
Z
0
h
(i,j)
(β; t, τ)p
(j)
(τ)dτ, t ∈ [0, 2π],
h
(1,1)
(β; t, τ) = 2π
³
G
(1,1)
(β; t, τ) + G
(1,2)
(β; t, τ)
´
,
h
(1,2)
(β; t, τ) = 2π
³
G
(1,1)
(β; t, τ) − G
(1,2)
(β; t, τ)
´
|r
0
(τ)|,
h
(2,1)
(β; t, τ) = 4π
³
G
(2,1)
(β; t, τ) + G
(2,2)
(β; t, τ)
´
,
h
(2,2)
(β; t, τ) = 4π
³
G
(2,1)
(β; t, τ) − G
(2,2)
(β; t, τ)
´
|r
0
(τ)|,
G
(1,1)
(β; t, τ) = Φ
+
(β; x, y) +
1
2π
ln |sin
t − τ
2
|,
G
(1,2)
(β; t, τ) = Φ
∞
(β; x, y) +
1
2π
ln |sin
t − τ
2
|,
G
(2,1)
(β; t, τ) =
∂Φ
+
(β; x, y)
∂ν(x)
,
G
(2,2)
(β; t, τ) =
∂Φ
∞
(β; x, y)
∂ν(x)
,
x ≡ x(t), y ≡ y(τ).
Известно (см., напр., [7], c. 10), что линейный непрерывный опе-
ратор L : C
0,α
→ C
1,α
непрерывно обратим. При любом β ∈ Λ опера-
торы
B
(2,1)
(β), B
(2,2)
(β) : C
0,α
→ C
0,α
,
B
(1,1)
(β), B
(1,2)
(β) : C
0,α
→ C
1,α
вполне непрерывны в силу того, что ядра G
(2,1)
, G
(2,2)
не имеют осо-
бенности при t = τ, а ядра G
(1,1)
, G
(1,2)
являются дважды непрерывно
дифференцируемыми по t функциями (t, τ) ∈ [0, 2π] ×[0, 2π]. В этом
нетрудно убедиться, используя свойства функций Ханкеля. Анало-
гичные результаты получены, например, в [20], с. 93, [42], с. 211.
§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода                          51


Здесь

        p(1) (τ ) = (f+ (y) − f∞ (y)) |r 0 (τ )|,          p(2) (τ ) = f+ (y) + f∞ (y),
                                 Z2π
                             1                    t − τ (1)
              Lp(1)      =−            ln | sin        |p (τ )dτ, t ∈ [0, 2π],
                            2π                      2
                                 0
                                       Z2π
                                1
           B (i,j) (β)p(j)   =               h(i,j) (β; t, τ )p(j) (τ )dτ, t ∈ [0, 2π],
                               2π
                                       0
                                           ³                                     ´
                 (1,1)                         (1,1)                (1,2)
             h       (β; t, τ ) = 2π G (β; t, τ ) + G (β; t, τ ) ,
                                  ³                          ´
          h (β; t, τ ) = 2π G (β; t, τ ) − G (β; t, τ ) |r0 (τ )|,
           (1,2)                    (1,1)          (1,2)

                                    ³                           ´
               (2,1)                    (2,1)          (2,2)
              h (β; t, τ ) = 4π G (β; t, τ ) + G (β; t, τ ) ,
                                  ³                          ´
          h (β; t, τ ) = 4π G (β; t, τ ) − G (β; t, τ ) |r0 (τ )|,
           (2,2)                    (2,1)          (2,2)


                                                      1           t−τ
                  G(1,1) (β; t, τ ) = Φ+ (β; x, y) +     ln | sin     |,
                                                     2π            2
                                                       1          t−τ
                 G(1,2) (β; t, τ ) = Φ∞ (β; x, y) +      ln | sin     |,
                                                      2π           2
                                                 ∂Φ+ (β; x, y)
                             G(2,1) (β; t, τ ) =               ,
                                                   ∂ν(x)
                                                       ∂Φ∞ (β; x, y)
                             G(2,2) (β; t, τ ) =                     ,
                                                         ∂ν(x)
                                     x ≡ x(t),         y ≡ y(τ ).
   Известно (см., напр., [7], c. 10), что линейный непрерывный опе-
ратор L : C 0,α → C 1,α непрерывно обратим. При любом β ∈ Λ опера-
торы
                  B (2,1) (β), B (2,2) (β) : C 0,α → C 0,α ,
                          B (1,1) (β), B (1,2) (β) : C 0,α → C 1,α
вполне непрерывны в силу того, что ядра G(2,1) , G(2,2) не имеют осо-
бенности при t = τ , а ядра G(1,1) , G(1,2) являются дважды непрерывно
дифференцируемыми по t функциями (t, τ ) ∈ [0, 2π] × [0, 2π]. В этом
нетрудно убедиться, используя свойства функций Ханкеля. Анало-
гичные результаты получены, например, в [20], с. 93, [42], с. 211.

Страницы