Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

50 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления
При всех β ∈ Λ и f
+
, f
∞
∈ C
0,α
функция u, задаваемая равен-
ствами (2.19), (2.20), удовлетворяет требуемым свойствам гладкости
и уравнениям (2.2), (2.3). С помощью разложения (2.15) нетрудно
убедиться, что функция u удовлетворяет условию (2.5). А именно,
при |x| ≥ R
0
функция u представима в виде абсолютно и равномерно
сходящегося ряда
u(x) =
∞
X
l=−∞
a
l
H
(1)
l
(χ
∞
r(x)) exp(ilϕ(x)),
где
a
l
=
i
4
Z
Γ
J
l
(χ
∞
r (y)) exp (−ilϕ (y)) f
∞
(y) dl (y) .
Используем граничные условия (2.4) и предельные свойства по-
тенциалов простого слоя и их нормальных производных. Получим
нелинейную спектральную задачу для системы интегральных урав-
нений
A
(1,1)
(β)f
+
+ A
(1,2)
(β)f
∞
= 0, x ∈ Γ, (2.21)
A
(2,1)
(β)f
+
+ A
(2,2)
(β)f
∞
= 0, x ∈ Γ. (2.22)
Здесь
³
A
(1,1)
(β)f
+
´
(x) =
Z
Γ
Φ
+
(β; x, y)f
+
(y)dl(y), x ∈ Γ,
³
A
(1,2)
(β)f
∞
´
(x) = −
Z
Γ
Φ
∞
(β; x, y)f
∞
(y)dl(y), x ∈ Γ,
³
A
(2,1)
(β)f
+
´
(x) =
1
2
f
+
(x) +
Z
Γ
∂Φ
+
(β; x, y)
∂ν(x)
f
+
(y)dl(y), x ∈ Γ,
³
A
(2,2)
(β)f
∞
´
(x) =
1
2
f
∞
(x) −
Z
Γ
∂Φ
∞
(β; x, y)
∂ν(x)
f
∞
(y)dl(y), x ∈ Γ.
Перейдем к переменной интегрирования t параметрического опре-
деления контура Γ, выделим явно логарифмическую особенность
ядер Φ
+
(x, y), Φ
∞
(x, y) и преобразуем систему (2.21), (2.22) к виду
Lp
(1)
+ B
(1,1)
(β)p
(1)
+ B
(1,2)
(β)p
(2)
= 0, t ∈ [0, 2π], (2.23)
p
(2)
+ B
(2,1)
(β)p
(1)
+ B
(2,2)
(β)p
(2)
= 0, t ∈ [0, 2π]. (2.24)
50                                  Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


    При всех β ∈ Λ и f+ , f∞ ∈ C 0,α функция u, задаваемая равен-
ствами (2.19), (2.20), удовлетворяет требуемым свойствам гладкости
и уравнениям (2.2), (2.3). С помощью разложения (2.15) нетрудно
убедиться, что функция u удовлетворяет условию (2.5). А именно,
при |x| ≥ R0 функция u представима в виде абсолютно и равномерно
сходящегося ряда
                                              ∞
                                              X           (1)
                              u(x) =                al Hl (χ∞ r(x)) exp(ilϕ(x)),
                                             l=−∞

где                                 Z
                            i
                       al =              Jl (χ∞ r (y)) exp (−ilϕ (y)) f∞ (y) dl (y) .
                            4
                                     Γ
   Используем граничные условия (2.4) и предельные свойства по-
тенциалов простого слоя и их нормальных производных. Получим
нелинейную спектральную задачу для системы интегральных урав-
нений
              A(1,1) (β)f+ + A(1,2) (β)f∞ = 0, x ∈ Γ,     (2.21)
                                   A(2,1) (β)f+ + A(2,2) (β)f∞ = 0,             x ∈ Γ.            (2.22)
Здесь
                   ³                      ´          Z
                           (1,1)
                       A           (β)f+ (x) =             Φ+ (β; x, y)f+ (y)dl(y), x ∈ Γ,
                                                      Γ
               ³                         ´            Z
                   A(1,2) (β)f∞ (x) = −                     Φ∞ (β; x, y)f∞ (y)dl(y), x ∈ Γ,
                                                       Γ
      ³                        ´                                Z
              (2,1)                      1                          ∂Φ+ (β; x, y)
          A           (β)f+         (x) = f+ (x) +                                f+ (y)dl(y), x ∈ Γ,
                                         2                            ∂ν(x)
                                                                Γ
     ³                         ´                                Z
             (2,2)              1                                   ∂Φ∞ (β; x, y)
         A           (β)f∞ (x) = f∞ (x) −                                         f∞ (y)dl(y), x ∈ Γ.
                                2                                     ∂ν(x)
                                                                Γ
   Перейдем к переменной интегрирования t параметрического опре-
деления контура Γ, выделим явно логарифмическую особенность
ядер Φ+ (x, y), Φ∞ (x, y) и преобразуем систему (2.21), (2.22) к виду

               Lp(1) + B (1,1) (β)p(1) + B (1,2) (β)p(2) = 0, t ∈ [0, 2π],                        (2.23)

                p(2) + B (2,1) (β)p(1) + B (2,2) (β)p(2) = 0, t ∈ [0, 2π].                        (2.24)

Страницы