Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 49
где H
(2)
0
— функция Ханкеля второго рода нулевого порядка, парци-
альным условиям излучения (2.15), (2.16) не удовлетворяют.
Будем обозначать C
0,α
, 0 < α < 1 пространство непрерывных по
Гельдеру функций, то есть линейное пространство всех комплексно-
значных функций f, определенных на контуре Γ и удовлетворяющих
условию
|f(x) − f(y)| 6 K|x − y|
α
,
где K — положительная постоянная, зависящая от f, но не зависящая
от x и y. Будем обозначать C
1,α
, 0 < α < 1 пространство непрерывно
дифференцируемых по Гельдеру функций — линейное пространство
всех комплекснозначных функций f, определенных на контуре Γ, та-
ких, что их первые производные существуют и принадлежат C
0,α
.
Как известно, пространство непрерывных по Гельдеру функций C
0,α
и пространство непрерывно дифференцируемых по Гельдеру функ-
ций C
1,α
являются банаховыми пространствами с нормами
kfk
α
= max
x∈Γ
|f(x)| + sup
x,y∈Γ, x6=y
|f(x) − f(y)|
|x − y|
α
и
kfk
1,α
= max
x∈Γ
|f(x)| + max
x∈Γ
|f
0
(x)| + sup
x,y∈Γ, x6=y
|f
0
(x) − f
0
(y)|
|x − y|
α
соответственно. Будем предполагать, что контур Γ задан параметри-
чески функцией r = r(t), t ∈ [0, 2π]. Функции из C
0,α
и C
1,α
будем
рассматривать также, как непрерывные по Гельдеру и непрерывно
дифференцируемые по Гельдеру 2π-периодические функции парамет-
ра t.
Решения задачи (2.2) – (2.5) будем разыскивать в виде потенциа-
лов простого слоя
u(x) =
Z
Γ
Φ
+
(β; x, y)f
+
(y)dl(y), x ∈ Ω, (2.19)
u(x) =
Z
Γ
Φ
∞
(β; x, y)f
∞
(y)dl(y), x ∈ Ω
∞
(2.20)
с плотностями f
+
и f
∞
, принадлежащими пространству непрерывных
по Гельдеру функций C
0,α
.
§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода                 49


      (2)
где H0 — функция Ханкеля второго рода нулевого порядка, парци-
альным условиям излучения (2.15), (2.16) не удовлетворяют.
    Будем обозначать C 0,α , 0 < α < 1 пространство непрерывных по
Гельдеру функций, то есть линейное пространство всех комплексно-
значных функций f , определенных на контуре Γ и удовлетворяющих
условию
                    |f (x) − f (y)| 6 K|x − y|α ,
где K — положительная постоянная, зависящая от f , но не зависящая
от x и y. Будем обозначать C 1,α , 0 < α < 1 пространство непрерывно
дифференцируемых по Гельдеру функций — линейное пространство
всех комплекснозначных функций f , определенных на контуре Γ, та-
ких, что их первые производные существуют и принадлежат C 0,α .
Как известно, пространство непрерывных по Гельдеру функций C 0,α
и пространство непрерывно дифференцируемых по Гельдеру функ-
ций C 1,α являются банаховыми пространствами с нормами
                                                       |f (x) − f (y)|
                kf kα = max |f (x)| +        sup
                          x∈Γ            x,y∈Γ,   x6=y     |x − y|α
и
                                         0              |f 0 (x) − f 0 (y)|
     kf k1,α   = max |f (x)| + max |f (x)| + sup
                 x∈Γ           x∈Γ          x,y∈Γ, x6=y       |x − y|α
соответственно. Будем предполагать, что контур Γ задан параметри-
чески функцией r = r(t), t ∈ [0, 2π]. Функции из C 0,α и C 1,α будем
рассматривать также, как непрерывные по Гельдеру и непрерывно
дифференцируемые по Гельдеру 2π-периодические функции парамет-
ра t.
    Решения задачи (2.2) – (2.5) будем разыскивать в виде потенциа-
лов простого слоя
                     Z
              u(x) = Φ+ (β; x, y)f+ (y)dl(y), x ∈ Ω,           (2.19)
                          Γ
                         Z
                u(x) =        Φ∞ (β; x, y)f∞ (y)dl(y),      x ∈ Ω∞            (2.20)
                         Γ
с плотностями f+ и f∞ , принадлежащими пространству непрерывных
по Гельдеру функций C 0,α .

Страницы