Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 47
при β ∈ G и x ∈ Ω
+
. Вещественным β ∈ G соответствуют поверх-
ностные волны (u экспоненциально убывает при r → ∞). Теорема 2.3
обобщает результаты [29] о локализации спектра собственных волн
слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения,
полученные на основе анализа характеристического уравнения мето-
да разделения переменных (см. пункт 2 параграфа 6 главы 1).
2. Нелинейная спектральная задача для системы сла-
босингулярных интегральных уравнений по контуру попе-
речного сечения волновода. Сведем теперь исходную задачу
(2.2) – (2.5) методами теории потенциалов к спектральной задаче для
некоторой интегральной оператор-функции. Большинство результа-
тов теории потенциалов, которые мы будем использовать, являются
классическими и хорошо известны. Их доказательства можно най-
ти, например, в монографиях [1], [19]. Возможно, менее традицион-
но изучение поведения потенциалов на бесконечности, как функций
удовлетворяющих парциальным условиям излучения. Аналогичные
построения содержатся в книгах [13], [49].
Введем в рассмотрение функции
Φ
+
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
+
(β) |x − y|) , (2.11)
Φ
∞
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
∞
(β) |x − y|) . (2.12)
Здесь
|x − y| =
p
(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
,
χ
+
(β) =
q
k
2
n
2
+
− β
2
, χ
∞
(β) =
p
k
2
n
2
∞
− β
2
,
параметр β предполагается комплексным, принадлежащим множе-
ству Λ, определенному формулой (2.6). Напомним [32], что
H
(1)
0
(z) = J
0
(z) + iN
0
(z),
где J
0
(z) — функция Бесселя нулевого порядка, N
0
(z) — функция
Неймана нулевого порядка,
J
0
(z) =
∞
X
k=0
(−1)
k
(z/2)
2k
(k!)
2
,
N
0
(z) =
2
π
J
0
(z)ln
z
2
−
2
π
∞
X
k=0
(−1)
k
(z/2)
2k
Ψ(k + 1)
(k!)
2
,
§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода      47


при β ∈ G и x ∈ Ω+ . Вещественным β ∈ G соответствуют поверх-
ностные волны (u экспоненциально убывает при r → ∞). Теорема 2.3
обобщает результаты [29] о локализации спектра собственных волн
слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения,
полученные на основе анализа характеристического уравнения мето-
да разделения переменных (см. пункт 2 параграфа 6 главы 1).
    2. Нелинейная спектральная задача для системы сла-
босингулярных интегральных уравнений по контуру попе-
речного сечения волновода. Сведем теперь исходную задачу
(2.2) – (2.5) методами теории потенциалов к спектральной задаче для
некоторой интегральной оператор-функции. Большинство результа-
тов теории потенциалов, которые мы будем использовать, являются
классическими и хорошо известны. Их доказательства можно най-
ти, например, в монографиях [1], [19]. Возможно, менее традицион-
но изучение поведения потенциалов на бесконечности, как функций
удовлетворяющих парциальным условиям излучения. Аналогичные
построения содержатся в книгах [13], [49].
    Введем в рассмотрение функции
                               i (1)
                Φ+ (β; x, y) = H0 (χ+ (β) |x − y|) ,               (2.11)
                               4
                               i (1)
                Φ∞ (β; x, y) = H0 (χ∞ (β) |x − y|) .               (2.12)
                               4
Здесь                      p
                 |x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ,
                    q                       p
           χ+ (β) = k 2 n2+ − β 2 , χ∞ (β) = k 2 n2∞ − β 2 ,
параметр β предполагается комплексным, принадлежащим множе-
ству Λ, определенному формулой (2.6). Напомним [32], что
                         (1)
                       H0 (z) = J0 (z) + iN0 (z),
где J0 (z) — функция Бесселя нулевого порядка, N0 (z) — функция
Неймана нулевого порядка,
                                  ∞
                                  X (−1)k (z/2)2k
                       J0 (z) =                       ,
                                              (k!)2
                                  k=0
                                        ∞
                  2        z 2 X (−1)k (z/2)2k Ψ(k + 1)
          N0 (z) = J0 (z)ln −                           ,
                  π        2 π            (k!)2
                                        k=0

Страницы