Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 45
Отсюда, используя условие (2.5) и ортогональность тригонометриче-
ских функций, для любого R ≥ R
0
∞
X
l=−∞
h
H
(1)
l
(χ
∞
R) H
(2)0
l
(χ
∞
R) − H
(2)
l
(χ
∞
R) H
(1)0
l
(χ
∞
R)
i
|a
l
|
2
= 0.
Хорошо известно (см., напр., [32]), что выражение, стоящее в этой
сумме в квадратных скобках, от l не зависит, а именно
H
(1)
l
(χ
∞
R) H
(2)0
l
(χ
∞
R) − H
(2)
l
(χ
∞
R) H
(1)0
l
(χ
∞
R) =
4
iπχ
∞
R
,
где l = 0, ±1, ±2, . . . Следовательно, для любого x ∈ R
2
\ Ω
R
0
все ко-
эффициенты a
l
в разложении (2.5) обращаются в нуль. А это значит,
что u = 0 при x ∈ R
2
\ Ω
R
0
. Функция u удовлетворяет в области Ω
∞
уравнению Гельмгольца (2.3) с постоянным коэффициентом, следо-
вательно, является аналитической по x в Ω
∞
. Таким образом, u = 0
при x ∈ Ω
∞
и u
+
= 0, ∂u
+
/∂ν = 0 на контуре Γ.
Применим в области Ω третью формулу Грина, выражающую ре-
шение уравнения (2.2) в Ω через предельное значение решения и его
нормальной производной на Γ:
u(x) = −
Z
Γ
·
u
−
(y)
∂Φ
+
(β; x, y)
∂ν(y)
−
∂u
−
(y)
∂ν(y)
Φ
+
(β; x, y)
¸
dl(y), x ∈ Ω,
(2.9)
где
Φ
+
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
+
(β) |x − y|)
– фундаментальное решение уравнения Гельмгольца (2.2). Из это-
го представления функции u(x) и условий сопряжения (2.4) следует
что u = 0 и в области Ω. Итак, мы доказали, что при β ∈ D функ-
ция u обращается в нуль на всей плоскости R
2
, что противоречит
предположению о том, что она является собственной функцией зада-
чи (2.2) – (2.5). Следовательно, область D свободна от собственных
значений задачи (2.2) – (2.5).
Предположим теперь, что u — собственная функция задачи (2.2) –
(2.5), отвечающая собственному значению β ∈ C
(1)
0
∪ B. Применим в
областях Ω и Ω
R
\
Ω, R ≥ R
0
, к функциям u и u формулу Грина.
Получим равенства:
Z
Ω
∇u · ∇
udx +
Z
Ω
u∆udx =
Z
Γ
u
−
∂u
−
∂ν
dl,
§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода      45


Отсюда, используя условие (2.5) и ортогональность тригонометриче-
ских функций, для любого R ≥ R0
  X∞ h                                                i
         (1)        (2)0           (2)       (1)0
       Hl (χ∞ R) Hl (χ∞ R) − Hl (χ∞ R) Hl (χ∞ R) |al |2 = 0.
  l=−∞

Хорошо известно (см., напр., [32]), что выражение, стоящее в этой
сумме в квадратных скобках, от l не зависит, а именно
      (1)       (2)0           (2)        (1)0           4
    Hl (χ∞ R) Hl (χ∞ R) − Hl (χ∞ R) Hl (χ∞ R) =              ,
                                                      iπχ∞ R
где l = 0, ±1, ±2, . . . Следовательно, для любого x ∈ R2 \ ΩR0 все ко-
эффициенты al в разложении (2.5) обращаются в нуль. А это значит,
что u = 0 при x ∈ R2 \ ΩR0 . Функция u удовлетворяет в области Ω∞
уравнению Гельмгольца (2.3) с постоянным коэффициентом, следо-
вательно, является аналитической по x в Ω∞ . Таким образом, u = 0
при x ∈ Ω∞ и u+ = 0, ∂u+ /∂ν = 0 на контуре Γ.
    Применим в области Ω третью формулу Грина, выражающую ре-
шение уравнения (2.2) в Ω через предельное значение решения и его
нормальной производной на Γ:
            Z ·                                            ¸
                 −       ∂Φ+ (β; x, y) ∂u− (y)
  u(x) = −      u (y)                 −        Φ+ (β; x, y) dl(y), x ∈ Ω,
                           ∂ν(y)        ∂ν(y)
           Γ
                                                                    (2.9)
где
                                  i (1)
                   Φ+ (β; x, y) = H0 (χ+ (β) |x − y|)
                                  4
– фундаментальное решение уравнения Гельмгольца (2.2). Из это-
го представления функции u(x) и условий сопряжения (2.4) следует
что u = 0 и в области Ω. Итак, мы доказали, что при β ∈ D функ-
ция u обращается в нуль на всей плоскости R2 , что противоречит
предположению о том, что она является собственной функцией зада-
чи (2.2) – (2.5). Следовательно, область D свободна от собственных
значений задачи (2.2) – (2.5).
    Предположим теперь, что u — собственная функция задачи (2.2) –
                                                   (1)
(2.5), отвечающая собственному значению β ∈ C0 ∪ B. Применим в
областях Ω и ΩR \ Ω, R ≥ R0 , к функциям u и u формулу Грина.
Получим равенства:
               Z                 Z         Z          −
                                                − ∂u
                  ∇u · ∇udx + u∆udx = u                 dl,
                                                   ∂ν
               Ω               Ω             Γ

Страницы