Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

46 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления
Z
Ω
R
\Ω
∇u · ∇udx +
Z
Ω
R
\Ω
u∆udx = −
Z
Γ
u
+
∂u
+
∂ν
dl +
Z
Γ
R
u
∂u
∂r
dl,
где
∇u = (∂u/∂x
1
, ∂u/∂x
2
)
T
.
Сложим левые и правые части этих равенств, учитывая условия со-
пряжения (2.4), и устремим R к бесконечности. При этом надо за-
метить, что согласно асимптотике (1.63), с. 24, все подынтегральные
выражения во втором равенстве, зависящие от R, экспоненциально
убывают на бесконечности при любом β ∈ C
(1)
0
∪ B. В результате
получим уравнение
Z
R
2
\Γ
|∇u|
2
dx +
Z
R
2
\Γ
(β
2
− k
2
n
2
)|u|
2
dx = 0.
(2.10)
При вещественных β, лежащих в бесконечном интервале B, равен-
ству (2.10) удовлетворяет лишь нулевая функция u в силу того, что
β
2
− k
2
n
2
> 0
при β ∈ B и x ∈ R
2
\ Γ.
Возьмем от левой и правой частей равенства (2.10) мнимую часть.
Получим
Im
¡
β
2
¢
Z
R
2
\Γ
|u|
2
dx = 2Re(β)Im(β)
Z
R
2
\Γ
|u|
2
dx = 0.
Заметим, что ни мнимая, ни вещественная части числа β ∈ C
(1)
0
не об-
ращаются в нуль, следовательно, при β ∈ C
(1)
0
последнему равенству
также удовлетворяет лишь нулевая функция u.
Таким образом, мы доказали, что при любом β ∈ C
(1)
0
∪ B функ-
ция u обращается в нуль на всей плоскости R
2
, что противоречит
предположению о том, что она является собственной функцией зада-
чи (2.2) – (2.5). Следовательно, области B и C
(1)
0
также свободны от
собственных значений задачи (2.2) – (2.5). ¤
Отметим, что доказать отсутствие собственных значений β задачи
(2.2) – (2.5) в области G с помощью равенства (2.10) нельзя в силу
того, что
β
2
− k
2
n
2
< 0
46                  Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления

       Z                       Z                    Z               +          Z
                                                             + ∂u                       ∂u
              ∇u · ∇udx +             u∆udx = −          u              dl +        u      dl,
                                                               ∂ν                       ∂r
      ΩR \Ω                   ΩR \Ω                 Γ                          ΓR
где
                             ∇u = (∂u/∂x1 , ∂u/∂x2 )T .
Сложим левые и правые части этих равенств, учитывая условия со-
пряжения (2.4), и устремим R к бесконечности. При этом надо за-
метить, что согласно асимптотике (1.63), с. 24, все подынтегральные
выражения во втором равенстве, зависящие от R, экспоненциально
                                                   (1)
убывают на бесконечности при любом β ∈ C0 ∪ B. В результате
получим уравнение
               Z            Z
                      2
                  |∇u| dx +    (β 2 − k 2 n2 )|u|2 dx = 0.    (2.10)
                 R2 \Γ                R2 \Γ

При вещественных β, лежащих в бесконечном интервале B, равен-
ству (2.10) удовлетворяет лишь нулевая функция u в силу того, что

                                      β 2 − k 2 n2 > 0

при β ∈ B и x ∈ R2 \ Γ.
   Возьмем от левой и правой частей равенства (2.10) мнимую часть.
Получим
                 Z                        Z
            ¡ 2¢        2
         Im β        |u| dx = 2Re(β)Im(β)     |u|2 dx = 0.
                     R2 \Γ                               R2 \Γ

                                                                                          (1)
Заметим, что ни мнимая, ни вещественная части числа β ∈ C0 не об-
                                             (1)
ращаются в нуль, следовательно, при β ∈ C0 последнему равенству
также удовлетворяет лишь нулевая функция u.
                                                      (1)
    Таким образом, мы доказали, что при любом β ∈ C0 ∪ B функ-
ция u обращается в нуль на всей плоскости R2 , что противоречит
предположению о том, что она является собственной функцией зада-
                                                 (1)
чи (2.2) – (2.5). Следовательно, области B и C0 также свободны от
собственных значений задачи (2.2) – (2.5). ¤
    Отметим, что доказать отсутствие собственных значений β задачи
(2.2) – (2.5) в области G с помощью равенства (2.10) нельзя в силу
того, что
                            β 2 − k 2 n2 < 0

Страницы