Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления
Ψ(n + 1) = −C +
n
X
k=1
1
k
, Ψ(1) = −C,
C = lim
n→∞
Ã
n
X
k=1
1
k
− lnn
!
= 0.5772156649 . . . ,
где Ψ — пси-функция, C — константа Эйлера.
Функции (2.11), (2.12) удовлетворяют уравнениям Гельмгольца
∆Φ
+
(β; x, y) + χ
2
+
(β)Φ
+
(β; x, y) = 0, (2.13)
∆Φ
∞
(β; x, y) + χ
2
∞
(β)Φ
∞
(β; x, y) = 0 (2.14)
как функции переменной x при любом фиксированном значении па-
раметра y 6= x. При y = x они имеют логарифмическую особен-
ность. Функции (2.11) и (2.12) являются фундаментальными решени-
ями уравнений (2.13) и (2.14).
С помощью теоремы сложения Графа (см., напр., [25], с. 201) лег-
ко показать, что функция Φ
∞
(β; x, y) при любых β ∈ Λ и y ∈ R
2
удовлетворяет условию (2.5):
Φ
∞
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
∞
(β) |x − y|) = (2.15)
=
i
4
∞
X
l=−∞
J
l
(χ
∞
r(y)) exp (−ilϕ(y)) H
(1)
l
(χ
∞
r(x)) exp (ilϕ(x)) ,
где r(x), ϕ(x) — полярные координаты точки x. Аналогичному усло-
вию удовлетворяет функция Φ
+
(β; x, y):
Φ
+
(β; x, y) =
i
4
H
(1)
0
(χ
+
(β) |x − y|) = (2.16)
=
i
4
∞
X
l=−∞
J
l
(χ
+
r(y)) exp (−ilϕ(y)) H
(1)
l
(χ
+
r(x)) exp (ilϕ(x)) .
Отметим, что другая пара фундаментальных решений уравнений
Гельмгольца (2.13) и (2.14), а именно функции
Φ
(2)
+
(β; x, y) =
i
4
H
(2)
0
(χ
+
(β) |x − y|) , (2.17)
Φ
(2)
∞
(β; x, y) =
i
4
H
(2)
0
(χ
∞
(β) |x − y|) , (2.18)
48               Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


                                        n
                                        X 1
                Ψ(n + 1) = −C +                      ,   Ψ(1) = −C,
                                                 k
                                        k=1
                       Ã   n
                                             !
                           X 1
             C = lim                 − lnn       = 0.5772156649 . . . ,
                 n→∞             k
                           k=1
где Ψ — пси-функция, C — константа Эйлера.
    Функции (2.11), (2.12) удовлетворяют уравнениям Гельмгольца

                ∆Φ+ (β; x, y) + χ2+ (β)Φ+ (β; x, y) = 0,                  (2.13)

                ∆Φ∞ (β; x, y) + χ2∞ (β)Φ∞ (β; x, y) = 0                   (2.14)
как функции переменной x при любом фиксированном значении па-
раметра y 6= x. При y = x они имеют логарифмическую особен-
ность. Функции (2.11) и (2.12) являются фундаментальными решени-
ями уравнений (2.13) и (2.14).
   С помощью теоремы сложения Графа (см., напр., [25], с. 201) лег-
ко показать, что функция Φ∞ (β; x, y) при любых β ∈ Λ и y ∈ R2
удовлетворяет условию (2.5):
                              i (1)
                Φ∞ (β; x, y) = H0 (χ∞ (β) |x − y|) =                      (2.15)
                              4
         ∞
       i X                             (1)
     =     Jl (χ∞ r(y)) exp (−ilϕ(y)) Hl (χ∞ r(x)) exp (ilϕ(x)) ,
       4
         l=−∞

где r(x), ϕ(x) — полярные координаты точки x. Аналогичному усло-
вию удовлетворяет функция Φ+ (β; x, y):
                              i (1)
                Φ+ (β; x, y) = H0 (χ+ (β) |x − y|) =                      (2.16)
                              4
         ∞
       i X                             (1)
     =     Jl (χ+ r(y)) exp (−ilϕ(y)) Hl (χ+ r(x)) exp (ilϕ(x)) .
       4
         l=−∞
Отметим, что другая пара фундаментальных решений уравнений
Гельмгольца (2.13) и (2.14), а именно функции
                 (2)          i (2)
                Φ+ (β; x, y) = H0 (χ+ (β) |x − y|) ,                      (2.17)
                              4
                                 i (2)
                Φ(2)
                 ∞   (β; x, y) =  H (χ∞ (β) |x − y|) ,                    (2.18)
                                 4 0

Страницы